P1073 最优贸易 题解

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简要题意：

给定一个图，每个点有点权。一个人从 \(1\) 号点出发，可以任意走路径，也可以任意停止旅行。每个点的点权表示水晶球的价格，初始这个人没有水晶球，可以在任意点卖出，也可以在任意点买。只能买卖一次。当然也可以不卖。求他的最大盈利。（赚不了则输出 \(0\)）

本题是 \(\text{NOIP 2009}\) 提高组 第三题.

算法一

对于 \(10 \%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 6\).

爆搜即可，随你什么姿势都可以过。

时间复杂度：\(O(\text{wys})\).

实际得分：\(10pts\).

算法二

对于 \(30 \%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 100\).

显然，我们可以对每个节点 \(x\) 遍历一遍，考虑从 \(x\) 买进，何处的卖出价格最高。考虑统计一遍即可。

时间复杂度：\(O(n^2)\).

实际得分：\(30pts\).

算法三

对于 \(50 \%\) 的数据，不存在环。

不存在环？这很简单啊。

对于 每条路径，统计出该条路径的最小值与最大值，作差即可。

你可以选择记录路径。可是不需要，你可以在搜索的时候记录。

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(50pts\).

算法四

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \leq n \leq 10^5\).

显然，算法三已经非常接近正解。

从 \(1\) 遍历，对当前节点 \(x\)，记录之前路径的最小值并考虑在当前卖出的答案，然后更新最小值即可！

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+1;

inline int read() {int f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

vector<int> G[N];
int n,m,f[N],g[N],a[N];

inline void dfs(int x,int val,int pre) {
	bool fl=1; val=min(a[x],val);
	if(g[x]>val) g[x]=val,fl=0;
	int coin=max(f[pre],a[x]-val);
	if(f[x]<coin) f[x]=coin,fl=0;
	if(fl) return;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++) dfs(G[x][i],val,x);
}

int main() {
	n=read(),m=read();
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	while(m--) {
		int x=read(),y=read(),z=read();
		G[x].push_back(y);
		if(z==2) G[y].push_back(x);
	} dfs(1,1e9,0);
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}