P1364 医院设置 题解

CSDN同步

原题链接

简要题意：

求带权树的重心。

带权树的重心定义：用 \(dis_{x,y}\) 表示 \(x\) 和 \(y\) 的距离（\(x=y\) 则 \(dis_{x,y} = 0\)），即求一个节点 \(u\)，最小化：

\[\sum_{i=1}^n w_i \times dis_{i,u} \]

本题要求求这个最小值。

首先，按照题目要求建树，分算法讨论。

算法一

\(1 \leq n \leq 100\)

显然，我们可以从每个点开始搜索，用 \(O(n^2)\) 的时间求出 \(\text{dis}\) 数组。

然后，再枚举重心取最小值即可完成答案。

时间复杂度：\(O(n^2)\).

期望得分：\(100pts\).

算法二

注意到，如果本题加强为：

\(1 \leq n \leq 10^6\)

那么我们需要一些高效算法。

这里我们考虑 换根 \(\text{dp}\).

即我们先算出 \(u = 1\) 的答案 \(f_u\)，然后对于一组父子关系 \(u , v\)（\(u\) 是 \(v\) 的父亲），那么 \(f_u\) 和 \(f_v\) 有什么关系呢？

我们只需要考虑两部分：

• 原来在 \(v\) 的子树中的数，离 \(v\) 比 \(u\) 少 \(1\)，所以答案集体 \(-1\).

• 原来不在 \(v\) 子树中的数，离 \(v\) 比 \(u\) 多 \(1\)，所以答案集体 \(+1\).

综上可得：

\[f_v = f_u + ( siz_1 - siz_v ) - siz_v \]

其中 \(siz_i\) 为 \(i\) 的子树权值和。 \(siz_1\) 即全树权值和（\(1\) 为根），\(siz_1 - siz_v\) 为不在 \(v\) 子树中的 \(+1\)，在的 \(-1\)，\(\therefore - siz_v\).

有了这个 \(\text{dp}\)，我们只需要搜索初始化 \(siz\) 和 \(f_1\) 就可以啦！

时间复杂度：\(O(n)\).

实际得分：\(100pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e5+1;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	   int x=0;while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

int n,ans,w[N],siz[N],f[N];
vector<int> G[N];

inline void dfs(int u,int fa,int dep) {
//当前节点为 u , 父亲为 fa , 深度为 dep
	siz[u]=w[u]; //先处理自己
	for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
		int v=G[u][i]; if(v==fa) continue;
		dfs(v,u,dep+1); siz[u]+=siz[v]; //统计儿子节点
	} f[1]+=w[u]*dep; //记录 f[1] 的答案
}

inline void dp(int u,int fa) {
	for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
		int v=G[u][i]; if(v==fa) continue;
		f[v]=f[u]+siz[1]-(siz[v]<<1); // <<1 等价于 *2
		dp(v,u); //换根 dp
	} ans=min(ans,f[u]); //统计答案
}

int main(){
	n=read(); ans=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		w[i]=read(); int u=read(),v=read();
		if(v) G[i].push_back(v),G[v].push_back(i);
		if(u) G[i].push_back(u),G[u].push_back(i); //建树
	} dfs(1,0,0); dp(1,0); //初始化,然后换根 dp
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",siz[i]); puts(""); 
//	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",f[i]); puts("");
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}