简要题意：

对每种菜有对应的若干种烹饪方法，用二维矩阵表示。求：每种食材用不超过 \(\lfloor \frac{k}{2} \rfloor\) 次，至少炒一道菜，烹饪方法互不相同的个数。

算法一

注意到，对于 \(32 \%\) 的数据，\(n \leq 10\)，\(m \leq 3\).

这部分我们可以试试暴力。

暴力的注意点是，烹饪方法是独立的，因此对每个烹饪方法进行分别计算。

具体见代码。

时间复杂度：\(O((m+1)^n)\).

实际得分：\(32pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=2e3+1;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int h[N],n,m; //h[i] 表示烹饪方法的选择种数
ll ans=0; int a[N][N];

inline void dfs(int dep,int sum,int x,int y) {
    // dep 是正在决策的一行（即烹饪方法），sum 是方案数，x 是要选的行数，y 是已选的行数
	if(x==y) {
		ans=(ans+sum)%MOD; return;
	} if(dep>n) return;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(h[i]+1<=x/2) { //要求不超过一半
			h[i]++;
			dfs(dep+1,(1ll*sum*a[dep][i])%MOD,x,y+1); //乘法原理
			h[i]--; //注意减回去，不要影响回溯
		} dfs(dep+1,sum,x,y); //否则不选
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
	if(n<=10) {
		for(int i=2;i<=n;i++) dfs(1,1,i,0); //对每个烹饪方法分别计算
		printf("%lld\n",ans); return 0;
	} //第一档部分分
	return 0;
}

算法二

注意到，\(m=2\) 且 \(n=40\) 是一个部分分。

这时，每种烹饪方法只有 \(3\) 种：不选，选第 \(1\) 个，选第 \(2\) 个。（不可以都选，因为不能超过 \(\lfloor \frac{m}{2} \rfloor\)）.

此时这就是背包。

即把 \(a_{i,j}\) 当成价值，然后有 \(2\) 个物品，\(40\) 种选法即可。

用 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 种烹饪方法，第一个物品选了 \(j\) 种，第二个选了 \(k\) 种的方案数。

则：

\[f_{i,j,k} = f_{i-1,j,k} + f_{i-1,j-1,k} \times a_{i,1} + f_{i-1,j,k-1} \times a_{i,2} \]

注意处理取模，负下标的细节。

时间复杂度：\(O(n^3)\).

实际得分：\(48pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e2+1;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int h[N],n,m; //h[i] 表示烹饪方法的选择种数
ll ans=0; int a[N][N];
ll f[N][N][N];

inline void dfs(int dep,int sum,int x,int y) {
    // dep 是正在决策的一行（即烹饪方法），sum 是方案数，x 是要选的行数，y 是已选的行数
	if(x==y) {
		ans=(ans+sum)%MOD; return;
	} if(dep>n) return;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(h[i]+1<=x/2) { //要求不超过一半
			h[i]++;
			dfs(dep+1,(1ll*sum*a[dep][i])%MOD,x,y+1); //乘法原理
			h[i]--; //注意减回去，不要影响回溯
		} dfs(dep+1,sum,x,y); //否则不选
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
	if(n<=10) {
		for(int i=2;i<=n;i++) dfs(1,1,i,0); //对每个烹饪方法分别计算
		printf("%lld\n",ans); return 0;
	} //第一档部分分
	if(n<=40 && m<=2) {
		f[0][0][0]=1; ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
		for(int k=0;k<=i;k++) {
			f[i][j][k]=f[i-1][j][k]; //首先考虑不选
			if(j) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k]*a[i][1])%MOD; //选第一个
			if(k) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j][k-1]*a[i][2])%MOD; //选第二个
		} for(int i=1;i<=n/2;i++) ans=(ans+f[n][i][i])%MOD; 
                //因为都不能超过 n/2，所以只能都等于；如果小于 n/2 则另一个大于 n/2，不可以
		printf("%lld\n",ans); return 0;
	}
	return 0;
}

算法三

然后我们发现，\(n=40\)，\(m=3\) 本质和 \(m=2\) 区别不大。

此时 \(\lfloor \frac{3}{2} \rfloor = 1\)，因此还是最多只能选一个。

同样的，用 \(g_{i,j,k,l}\) 表示前 \(i\) 种烹饪方法，第一个物品选了 \(j\) 种，第二个选了 \(k\) 种，第三个选了 \(l\) 种。

则：

\[g_{i,j,k,l}=g_{i-1,j,k,l} + g_{i-1,j-1,k,l} \times a_{i,1} + g_{i-1,j,k-1,l} \times a_{i,2} + g_{i-1,j,k,l-1} \times a_{i,3} \]

仍然注意处理取模，负下标的问题。

时间复杂度：\(O(n^4)\).

实际得分：\(64pts\).

#pragma GCC optimize(2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=4e1+1;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;

inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int h[N],n,m; //h[i] 表示烹饪方法的选择种数
ll ans=0; int a[N][N];
ll f[N][N][N];
ll g[N][N][N][N];

inline void dfs(int dep,int sum,int x,int y) {
    // dep 是正在决策的一行（即烹饪方法），sum 是方案数，x 是要选的行数，y 是已选的行数
	if(x==y) {
		ans=(ans+sum)%MOD; return;
	} if(dep>n) return;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(h[i]+1<=x/2) { //要求不超过一半
			h[i]++;
			dfs(dep+1,(1ll*sum*a[dep][i])%MOD,x,y+1); //乘法原理
			h[i]--; //注意减回去，不要影响回溯
		} dfs(dep+1,sum,x,y); //否则不选
}

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
	if(n<=10) {
		for(int i=2;i<=n;i++) dfs(1,1,i,0); //对每个烹饪方法分别计算
		printf("%lld\n",ans); return 0;
	} //第一档部分分
	if(n<=40 && m==2) {
		f[0][0][0]=1; ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
		for(int k=0;k<=i;k++) {
			f[i][j][k]=f[i-1][j][k]; //首先考虑不选
			if(j) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j-1][k]*a[i][1])%MOD; //第一个 
			if(k) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-1][j][k-1]*a[i][2])%MOD; //第二个 
		} for(int i=1;i<=n/2;i++) ans=(ans+f[n][i][i])%MOD;
		//因为都不能超过 n/2，所以只能都等于；如果小于 n/2 则另一个大于 n/2，不可以
		printf("%lld\n",ans); return 0;
	}
	if(n<=40 && m==3) {
		g[0][0][0][0]=1; ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
		for(int k=0;k<=i;k++)
		for(int l=0;l<=i;l++) {
			g[i][j][k][l]=g[i-1][j][k][l]; //首先考虑不选
			if(j) g[i][j][k][l]=(g[i][j][k][l]+g[i-1][j-1][k][l]*a[i][1])%MOD; //第一个
			if(k) g[i][j][k][l]=(g[i][j][k][l]+g[i-1][j][k-1][l]*a[i][2])%MOD; //第二个
			if(l) g[i][j][k][l]=(g[i][j][k][l]+g[i-1][j][k][l-1]*a[i][3])%MOD; //第三个
		} for(int i=0;i<=n/2;i++) //这时三个没有大小关系，不确定，因此需要枚举
		for(int j=0;j<=n/2;j++)
		for(int k=0;k<=n/2;k++) {
			if(i>j+k || j>i+k || k>i+j) continue; //超过另外两个说明大于 n/2 （类似于三角形三边）
			ans=(ans+g[n][i][j][k])%MOD;
		} printf("%lld\n",ans-1); return 0; //此时 g[n][0][0][0] 被算了一次，需要减去
	}
	return 0;
}

算法四

下面是满分算法。（如果想看 \(84pts\) 的部分分，下面也有说明）

考虑容斥，把所有方案加上，然后 \(\texttt{dp}\) 求出不合法的方案数。

这时我们需要抛开所有的前面所说。

用 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 种菜选 \(j\) 种烹饪方法，且当前烹饪方法选 \(k\) 次的方案数。

但是这样显然不能得到满分，考虑状态的简化。

限制为 \(k > \lfloor \frac{j}{2} \rfloor\)，推一步等到：

\(2k + n - j > n\). （为什么要同时 \(+n\)？后面你就明白了）

而 \(n-j\) 正是该方法不选的哪些菜。所以考虑简化。

对于每种烹饪方法，选它时当做选 \(2\) 次，不做当做选 \(1\) 次。最后的方案数，就是被选超过 \(n\) 次的方案。

这个转移很妙，此时我们就不用枚举前 \(i\) 种菜选的烹饪方法，只考虑当前方法即可。

所以 \(j\) 这一维被省略（降维）。

时间复杂度：\(O(n^2 \times m)\).

实际得分：\(100pts\).

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=200,M=3000,MOD=998244353;
typedef long long ll;

inline ll read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	ll x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}

int n,m;
ll ans=1,s[N],a[N][M],f[N][M];
// s[i] 是第 i 中烹饪方法的方案和
// 如果不降掉第二维，则只有 84 分

int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			a[i][j]=read();
			s[i]=(s[i]+a[i][j])%MOD;
		} ans=(ans*(s[i]+1))%MOD;
	} ans=(ans+MOD-1)%MOD; //所有方案，减去全部不选
	for(int i=1;i<=m;i++) {
        memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0]=1;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        for(int k=0;k<=((j-1)<<1);k++) {
            f[j][k]=(f[j][k]+f[j-1][k]*(s[j]-a[j][i]))%MOD; //不选当前列，继承前面的列
            f[j][k+1]=(f[j][k+1]+f[j-1][k])%MOD;            //不选当前烹饪方法，继承上一个方法
            f[j][k+2]=(f[j][k+2]+f[j-1][k]*a[j][i])%MOD;    //选 a[j][i] 这个点
        }
        for(int j=n+1;j<=(n<<1);j++) ans=(ans+MOD-f[n][j])%MOD; //减去答案，注意取模
    } printf("%lld",ans);
	return 0; 
}

posted @ 2020-03-30 11:26 bifanwen 阅读(316) 评论(7) 收藏举报

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