N球M盒问题 & Password Attacker google code jam

　　第一个题目本质是个动归dp问题。但是分析dp的方程使用了组合数学中的N求M盒问题。

先来看下N球M盒的经典问题。

给定N个相同的球，放入M个不同的盒子中，要求每个盒子必须非空，求组合数。

假设Xi为第i个盒子中的放入的小球数，则方程

X1+X2+X3+...+Xm=N,

其实抽象成数学问题，就是求这个M元1次方程的正整数解的组数。

插板法分析：

N个小球排成一行，插入M-1个板，只能在小球中间插，而且板与板之间必须有球

分析到这里，聪明的大家肯定一看就知道是个N-1个空隙选M-1个来放入板，Cm-1,n-1.

有了上面的分析方法后，我们可以接着来分析原题。

dp[i][j]可以先考虑dp[i-1][k]，

那么还剩下j-k个相同的元素待插入，把j-k相同的球分成k个不同的堆，每堆可以为空。

为了转化成堆至少有一个球的情形，我们每个堆放入一个球，现在又可以变成了插板问题。最后插板得到的组合，每个减去1就是了

所以：最后动归的公式就是

dp(i,j)=sum( dp(i-1,k)C(j,k))

k 是 i-1 ~ j-1

 

调试的过程中一定用longlong来存储

typedef int64 long long 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<ctime>
#include<queue>
using namespace std;

#define REP(i,n) for(int i = 0; i < (int)n; i++)
#define FOR(i,n,m) for(int i = (int)n; i <= (int)m; i++)
#define FOD(i,n,m) for(int i = (int)n; i >= (int)m; i--)
#define EACH(i,v) for(decltype((v).begin()) i = (v).begin(); i != (v).end(); i++)

typedef long long i64;
typedef pair<int, int> PI;

#define sz(v) ((i64)(v).size())
#define all(v) (v).begin(),(v).end()
#define bit(n) (1LL<<(i64)(n))

#define PB push_back
#define MP make_pair
#define X first
#define Y second
template<class T> void fmax(T &a, const T &b) { if (a < b) a = b; }
template<class T> void fmin(T &a, const T &b) { if (a > b) a = b; }
template<class T> T sqr(const T &a) { return a * a; }

long long M=1000000007LL;

long long C[101][101];
long long  dp[101][101];

void composition(){
    FOR(i,0,100){
        C[i][i]=1;
        C[i][0]=1;
    }

    FOR(i,2,100){
        FOR(j,1,i-1){
            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
        }
    }
}

void getCombination() {
    int n = 105;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        C[i][0] = C[i][i] = 1LL;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        C[i][j] = (C[i-1][j-1] % M + C[i-1][j] % M) % M;
}

long long  solve(int m,int n){
    /*
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    FOR(i,1,n)
        dp[1][i]=1;
    FOR(i,2,n)
        dp[i][i]=(dp[i-1][i-1] * (long long)i ) %M;

    FOR(i,2,m){
        FOR(j,i+1,n){
            FOR(k,i-1,j-1){
                //dp[i][j]=(dp[i][j]+(dp[i-1][k]*C[j][k])%M)%M;
                dp[i][j] = (dp[i][j] + (C[j][k] * dp[i-1][k]) % M) % M;
            }
        }
    }
    */
    memset(dp, 0LL, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; i++)    dp[1][i] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++)    dp[i][i] = (dp[i-1][i-1] * (long long)i) % M;
        
        for (int i = 2; i <= m; i++)
        for (int j = i+1; j <= n; j++)
        for (int k = i-1; k <= j-1; k++)
            dp[i][j] = (dp[i][j] + (C[j][k] * dp[i-1][k]) % M) % M;
    return dp[m][n];
}

int main(){
    freopen("input.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
    int M,N,T;
    //composition();
    getCombination();
    cin>>T;
    int counter=1;
    while(T--){
        cin>>M>>N;
        cout<<"Case #"<<counter++<<": "<<solve(M,N)<<endl;
        
    }
    return 0;
}

 

 

最后代码奉上