组合计数与反演 —— 反演

【概述】

对于两个数列 、，他们之间满足  ，此时，若已知数组 a 和数列 ，则可以推出 

那么反演过程就是找到一个数组 b，通过使用  的值，来反推出 ，即：

如果只考虑上面两个公式，整个方程组实际上是一个下三角矩阵的形式，因此从本质上来说，反演是一个解线性方程组的过程。

引入克罗内克函数：

由  可得 

考虑反演的过程：，将  代入，有：

对于最后一步，实质上是交换了求和顺序，将第二步按照矩阵形式写出，有：

可以看出，第二步是先对行进行，再将各行相加，那么第三步就是对列进行，然后再将各列相加，考虑每一个  的系数，显然只有  的系数为 1

那么反演式  成立的充要条件是：

同理，将 f 代入 g 的求和式中，可以推出：

也就是说，如果某个数列满足上面两个条件，就可以直接建立起反演公式。

可以发现，快速傅里叶变换与逆变换、第一类斯特林数、第二类斯特林数、二项式定理等满足这个条件，可以视为是一个反演的过程。