随机算法——判断多项式相乘

最近学习算法设计与分析，想写出来分享下。以下都是一些笔记。

基本概念

Experiment 试验 ：一个产生结果的过程  

Random Experiment 随机试验：直到试验结束前结果是未知的试验

Sample Space 样本空间： 所有试验结果的集合

Event 事件： 样本空间的子集。 

相互独立的事件Event： 事件E1的发生不影响E2的发生，则相互独立。 扩展到n个相互独立事件时就有（注意不是两两独立，意思是不一样的）

 

应用：多项式相等的判断

 

  解析：  令F(X）、G(X)分别为上述两个多项式。判断目的即就是F(X)=G(X)是否成立？

  代入法验证，任意取一个整数r,代入其中：我们的目标情形是

F(X)≠G(X) 时，F(r)=G(r)     （1）

此时即为判断出错的情况。

下面计算它的概率：

从集合{1,2,3，…100n}中，任取一个整数r（（1）式成立，意味着 r 为H(X)=F(X)G(X)=0的一个根，由代数基本定理知道n次多项式最多有n个根），

则恰好r是函数H（X）=0的根的概率就为n/100n。（上面例子中n=5即可）  

从集合{1,2,3，…100n}中，任取一个整数r, （1）式成立的概率就是1/100. 就是说我们出错的概率是1/100。

However！！！

1/100还是太大，是不可以接收的。想办法使得出错概率更小！

假设E1表示第一次从集合{1,2,.,100n}中取出一个数；

E2表示第二次取…….（每次取出的数有可能相同）进行k次以后的话？  

     显然E1，E2，…Ek相互独立，且每次出现情形1的概率都是1/100。 利用一开始给的相互独立事件概率计算公式，k次以后出错的概率为（1/100）^k。

意味着，判断两个多项式想的正确的概率为

P=1-(1/100)^k

    还可以进一步改变算法，例如：第一次取到了r1,第二次取数的集合应该去掉元素r1.。。也就是每次取出的数要求是不一样的。

    是可以这样做的，但上面已经足够应用了。不强求。