泊松分布

泊松分布

以下是我基于个人理解写出，恐有疏漏与错误，批判式阅读，欢迎指正错误

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数,是二项分布的一种极限情况，可从二项分布推导得出

适用于发生概率很小（小概率事件（相对而言））但是期望适中的随机事件，并且事件发生与否互不影响（相对独立事件）

（例如枪击案，航空事故等事件），并且事件发生概率稳定（由于二项分布计算式的前提就是每个事件发生概率相同）

推导过程如下：

不妨设事件发生概率为p，并假设事件发生时间与单位时间/单位面积（总体时间/面积）相比微乎其微甚至可忽略于是把总时间无限分割为n份（n的时间大于等于事件发生时间）

则数学期望 \(μ＝ n*p\)(μ可近似取事件发生的平均次数)，参数k是指实际发生的次数

列出其二项分布表达式：

\[P(X = k) = C^k_n * p^k*(1-p)^{n-k} \]

\[=>P(X = k) = C^k_n*(\frac{\mu}{n})^k*(1-\frac{\mu}{n})^{n-k} \]

因为有：

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}C^k_n*(1-\frac{\mu}{n})^{-k}*n^{-k} = \frac{1}{k!} \]

又有

\[\lim_{n\rightarrow+\infty}(1-\frac{\mu}{n})^n = e^{-\mu} \]

再令 \(\mu ＝ \lambda\)由此得出其概率函数（但实际上\(\lambda\)为其期望和方差）

\[=>P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}*\lambda^k}{k!} \]

（可利用卡方分布来验证概率是否准确，可以此推测事件发生概率是否变化）

特别的，将 X 改为 t 的函数 N 则有

\[P(N(t) = k) = \frac{e^{-{\lambda}t}*{{\lambda}t}^k}{k!} \]

其实际意义是，t 个单位时间内，时间发生 k 次的概率

一般的，λ = np 当n ≥ 20 ， p ≤ 0.05(小概率事件)时，可用泊松公式近似计算