树状数组

树状数组，基于二进制实现快速求前缀和以及修改数组元素。

 

必要工具：lowbit(x):取x二进制中最后一位1代表的数；

#define lowbit(x) (x & -x)

 

1.在原数组上建立树状数组

单点修改

add(x,val):使x结点及其所有父节点数值增加val

void add(int x,int c){
    for(int i=x; i<=n; i+=lowbit(x))    tr[i]+=c;
}

 

区间查询

sum(x):求[1,x]的值

int sum(int x){
    int res=0;
    for(int i=x; i; i-=lowbit(x))    res+=tr[i];
    return res;
}     

 2.在差分数组上建立树状数组

差分数组

在原数组a[n]上后项与前项差，d[1]=a[1];

for(int i=1; i<=n; i++)    d[i]=a[i]-a[i-1];

 

单点查询

易知a[k]=d[1]+d[2]+...+d[k]；即单点查询为查询差分数组上的前缀和。

 

区间修改

由于差分数组的性质，区间修改 [L.R]+C 只涉及 d[L]+=C 和 d[R+1]-=C，故区间修改相当于单点修改差分数组上的两个点;

add(l,c),add(r+1,-c);

 

单点修改

区间修改的特殊化

3.同时进行区间修改和区间查询

通过数学计算可知，(a为原数组，d为差分数组)

a[1]+a[2]+...+a[n]

=d[1]+(d[1]+d[2])+...+$\sum_{i=1}^{n}d[i] $

=n*d[1]+(n-1)*d[2]+...+d[n]

=n*$\sum_{i=1}^{n}d[i] $-d[2]-2d[3]-...-(n-1)*d[n]

 

故我们可以做一个辅助数组c[n]，令c[i]=(i-1)*d[i]，则区间查询即为n*sum(d,n)-sum(c,n)；//对d数组的前缀和乘n减去对c数组的前缀和