快速幂

上周在牛客做了一道快速幂的题，今天整理一下，参考了睛神的《算法笔记》。

一、用处：

　　给定三个正整数a,b,m，计算$a^b%p$，时间复杂度O(logb);

二、原理：

　　形如$a^b$，

　　　　1.若b为偶数，可分解为$a^{\frac{b}{2}}*a^{\frac{b}{2}}$ 或 $(a^{2})^{\frac{b}{2}}$；

　　　　2.若b为奇数，可分解为$a^{\frac{b}{2}}*a^{\frac{b}{2}}*a$;　　

　　由此可以使用递归或者迭代计算。

三、实现：

　　1.递归计算，一直分解直到b为0时返回1，回溯得到结果，层数为logn；

typedef long long ll
ll binary_pow(ll a,ll b,ll p) {
    if(b==0)    return 1;
    if(b&1) return a*binary_pow(a,b-1,p)%p;
    else {
        ll t=binary_pow(a,b/2,p);        //细节
        return t*t%p;
    }
}

　　细节：如果 直接返回binary_pow(a,b/2,p)*binary_pow(a,b/2,p)%p; 需要做两次递归，降低了效率；而先赋值的方法则只进行一次递归。

 

　　2.迭代计算，将b反复折半到1，同时a反复平方，期间若b为奇数，则将当时的a累乘起来（相当于b-1），将其与最后b为1时的a相乘即为结果。

typedef long long ll;
ll binary_pow(ll a,ll b,ll p){
    ll t=1;
    while(b>0){
        if(b&1) t=t*a%p;
        a=(a%p)*(a%p)%p;    //怕数据太大可以多取模几次
        b>>=1;
    }
    return t;
}