弱拓扑 (Weak topology) 入门笔记

弱拓扑的定义

考虑一个 Banach 空间 \(X\)，其范数诱导了一个度量，在度量意义下的开集构成的拓扑称为强拓扑；我们也可以在 \(X\) 上定义出其它的拓扑结构，弱拓扑，是使得所有 \(X\) 上的有界线性泛函 \(l\in \mathcal B(X,R)\) 均为连续的，最弱的拓扑。

依据如上定义可知，对于任意的 \(l\in X^*,a,b\in R,a<b\),

\[\mathcal{C}_{l,a,b}=\{x:a<l(x)<b\} \]

构成了弱拓扑的拓扑基，换句话说，弱拓扑下的开集就是 \(\mathcal{C}_{l,a,b}\) 的有限交的任意并。

假如 \(X\) 是有限维空间，那么 \(X\) 和有限维欧氏空间同构，从而依据 Riesz 表示定理可知，弱拓扑和强拓扑是相同的，收敛与弱收敛也是等价的；对于无穷维空间，弱拓扑和强拓扑一般是不同的，下面将具体讨论它特殊的性质。

弱拓扑及其性质

以下讨论中设 \(X\) 是无限维 Banach 空间。

弱拓扑中的开集

首先，我们讨论开集有哪些。

定理2.1.1 弱拓扑中的开集一定是强拓扑中的开集.

证明. 在强拓扑空间中，有界线性泛函也是连续的，这说明强拓扑比弱拓扑更细。

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反之则不然，例如单位球 \(\{||x||<R\}\) ，下列定理将表明这一点。

定理2.1.2 弱拓扑中的非空开集均无界。

证明. 由定义知弱拓扑中 \(x_0\) 的任意一个邻域基可以表示为

\[\bigcup_{\lambda \in \Lambda} \bigcap_{k=1}^n\{|l_k(x-x_0)|<\epsilon \}, \]

进而

\[W=\bigcap_{k=1}^n\{|l_k(x-x_0)|=0 \} \subseteq \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \bigcap_{k=1}^n\{|l_k(x-x_0)|<\epsilon \}, \]

实际上， \(W=\bigcap_{k=1}^n \ker(l_k)\) 且 \(\text{coker}(l_k)=1,1\le k\le n\) ，所以 \(\dim W=\infty\)，\(W\) 是一个非空的子空间，且包含在邻域基中；这说明，弱拓扑下任何一个邻域基，都包含一个无界的子空间，从而一定是无界的。

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定理2.1.3 弱拓扑中的单位球 \(\{|x|<1\}\) 内部为空.

证明. 假如单位球的内部非空，则一定有界，而内点构成开集，和定理2.1.2矛盾.

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以下定理证明弱拓扑具有良好的分离性，但下文将说明它并不能成为度量空间。

定理2.1.4 弱拓扑是 Hausdorff 的.

证明. 我们要证明存在弱开集 \(U,V\) 使得

\[\displaystyle x_{1}\in U,x_{2}\in V,U\cap V=\emptyset \]

由于\(\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\)，由凸集分离定理存在一个连续线性泛函 \(\displaystyle f\in X^{*}\) 以及 $\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} $ 使得\(\displaystyle f(x_{1})<\alpha <f(x_{2}).\) 所以令

\[{\displaystyle {\begin{aligned}U=\{x\in X:f(x)<\alpha \},\quad V=\{x\in X:f(x)>\alpha \}.\end{aligned}}} \]

那么 \(U,V\) 就是满足条件的弱开集。

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弱拓扑中的闭集

普通的点列收敛性，是和在强拓扑空间中点列的收敛一致的；对于一个点列 \(\{x_n\} \subset X\)，其弱收敛到一点 \(x\) 的定义是

\[\forall l\in X^*,l(x_n)\to l(x),n\to+\infty \]

其与弱拓扑中的收敛性是否一致？

回顾拓扑学里边闭包的性质：在度量空间中，集合的闭包可以定义为是向原集合中加入所有点列的极限点；在一般拓扑空间中，这一点往往是不对的。

定义 设 \(X\) 是拓扑空间，\(y\) 是 \(X\) 的极限点，如果对于任意一个 \(y\) 的邻域 \(U(y)\)，有 \(U(y) \cap X\backslash\{y\}\neq \varnothing\) ；称序列 \(y_n \to y\)，如果对于任意一个 \(y\) 的邻域 \(U(y)\)，存在 \(N>0\)，使得任意的 \(n\ge N\)，有 \(y_n\in U(y)\).

在拓扑学中，有如下序列引理 [2]：

引理 设 \(X\) 是拓扑空间，\(Y\subset X\)，若存在序列 ${y_n}\subset Y,y_n \to y $ ，那么 \(y\in \overline{Y}\)；反之是成立的当且仅当 \(X\) 是可度量化的。

根据弱拓扑的定义可知，弱收敛对应着弱拓扑中的收敛序列(定理2.2.1)；以下定理将讨论弱拓扑中的闭集。在下文中，设 \(X\) 是无穷维 Banach 空间，\(S\subset X\)，\(S\) 的弱序列闭包指全体 \(S\) 内弱收敛点列的极限。

定理(2.2.1) 设 \(X\) 是无穷维 Banach 空间，\(S\subset X\)，令 \(V_1\) 为 \(S\) 的弱序列闭包，\(V_2\) 为 \(S\) 的弱拓扑闭包，则

\[V_1 \subseteq V_2 \]

证明. 假设 \(x_n\to x\in V_1\)；则任意的 \(l\in X^*,\epsilon>0\)，均存在 \(x_n\in S\)，满足 \(|l(x_n-x)|<\epsilon\). 这表明在弱拓扑中 \(x\) 处任一个邻域基交 \(S\backslash \{x\}\) 非空。所以 \(x\in V_2\).

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定理(2.2.2) 对于任意的 \(X\) 无穷维 Banach 空间，存在 \(S\subset X\)，\(S\) 是弱序列闭的，而不是弱拓扑中的闭集。

证明. 令 \(S=S_2\cup S_3\cup \cdots\)，其中每一个 \(S_k\) 按以下规则选取：

任取 \(X_k \subset X\) 是 \(k\) 维子空间，\(E_k=\{||x||=k,x\in X_k\}\) 是 \(k\) 维球面，\(E_k\) 是紧集，从而存在有限的 \(1/k-\) 网，取作 \(S_k=\{x_k^j,1\le j\le \beta_k\}\)，i.e. \(\forall x\in E_k,\) \(\exists x_k^j\in S_k\) 使得

\[||x-x_k^j|| \le \frac{1}{k}. \]

注意到 \(S_k\) 均为有限集，且 \(S_k\subseteq E_k\) ，所以任意一个 \(S\) 中的序列都是无界的，从而没有弱极限；这说明 \(S\) 是弱序列闭的；

另一方面，我们证明原点 \(O\) 在 \(S\) 的弱闭包中：\(O\) 的任意一个邻域基

\[\mathcal{N} =\{x:l_i(x)<\epsilon,1\le i\le n\} \]

对于 \(k>n\) 的 \(X_k\) 存在一点 \(x_k\) 满足

\[||x_k||=k,l_i(x_k)=0,1\le i\le n, \]

根据构造，对于任一 \(k>n\) 存在对应的 \(x_{k}^j\in S\) 使得

\[\begin{aligned} ||l_i(x_k^j)|| &=||l_i(x_k^j-x_k)|| \\ &\le ||l_i||\cdot||x_{k}^j-x_k|| \\ &\le ||l_i||/k \quad (1\le i\le n) \end{aligned} \]

故存在充分大的 \(k\) 使得 \(x_{k}^j\in \mathcal{N}\) ，这说明原点 \(O\) 在 \(S\) 的弱闭包中，即 \(S\) 不是弱拓扑下的闭集。

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一般而言，在强拓扑意义下的闭集并不是弱拓扑下的闭集，但由于 Hahn-Banach 凸集分离定理的存在，如果加上凸性则可以做到这一点：

定理(2.2.3) 设 \(X\) 是 Banach 空间，\(K\subset X\) 是闭凸集，则 \(K\) 是弱拓扑闭集。

证明. 任取 \(z\notin K\) 存在这样的开球 \(B(z,r)\) 使得

\[K\cap B(z,r)=\varnothing, \]

根据凸集的分离性存在有界线性泛函使得

\[l(x) \le c\le l(y),x\in K,y\in B(z,r), \]

进一步可以证明 \(l(z)>c\) ；这说明弱开集 \(E=\{x:l(x)>c\}\) 满足

\[E\cap K=\varnothing,z\in E, \]

所以 \(K\) 是弱拓扑闭集。

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推论 \(X\) 无穷维 Banach 空间，闭球面不是弱拓扑闭的，其弱拓扑闭包为闭单位球。

弱*拓扑

设 \(X^*\) 是 \(X\) 的对偶空间，\(X^{**}\) 是 \(X^*\) 的对偶空间，存在等距嵌入

\[\begin{aligned} i:X &\to X^{**} \\ x &\mapsto \tilde{x} \end{aligned} \]

使得 \(\tilde{x}(u)=u(x),\forall u\in X^*\)；则 \(i(X) \subseteq X^{**}\)。

定义 \(X^*\) 上的弱*拓扑，是使得 \(i(X)\) 中的元素均连续的最弱拓扑。

定理3.1 若 \(X\) 是自反空间，则 \(X^*\) 上的弱拓扑等价于弱 *拓扑。

证明. 若 \(X\) 是自反空间则 \(i(X)=X^{**}\)，那么 \(X^*\) 上的弱*拓扑是满足 \(X^{**}\) 中的元素均连续的最弱拓扑，这与 \(X^ *\) 上的弱拓扑定义是相同的。

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定理3.2(Banach-Alaoglu) 设 \(X\) 是 Banach 空间，\(X^*\) 是它的对偶空间，则 \(X^*\) 中的单位闭球是弱*拓扑紧的。

证明. 令 \(P=\displaystyle \prod_{x\in X} [-||x||,+||x||]\); \(u\in B=B(0,1)\subset X^*\); 考虑如下映射：

\[\begin{aligned} \mathcal{K}:X^* &\to P \\ u &\mapsto \{u(x)\}_{x\in X } \end{aligned} \]

则 \(\mathcal{K}\) 是从 \(B\) 到 \(P\) 是一个连续嵌入，同时是单射，\(B\) 和 \(\mathcal{K}(B)\) 具有一致的拓扑结构，从而只需要证明 \(\mathcal{K}(B)\) 是 \(P\) 的紧子集；

任取 \(p=\{p_x\}_{x\in X} \in \overline{\mathcal{K}(B)}\)​ ，可以定义映射

\[v:x\to p_x \]

• \(v\) 是有界的且 \(||v||\le 1\)：因为 \(|p_x| \le |x|\) 在 \(P\) 的定义中；

• \(v\) 是线性的：对于任意的 \(q\in \mathcal{K}(B)\) 继承了线性性

  \[q_{x+ky}=q_x+kq_y, \]

  利用 \(P\) 上拓扑的连续性容易把线性性保持到闭包上，即

  \[p_{x+ky}=p_x+kp_y; \]

所以 \(v\in B\); 所以 \(p=\mathcal{K}(v)\in \mathcal{K}(B)\)； 这说明 \(\mathcal{K}(B)\) 是 \(P\) 的闭子集；由拓扑中的 Tychonov's theorem 可知 \(P\) 是紧集，从而 \(\mathcal{K}(B)\) 是 \(P\) 的紧子集；

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推论(1) by定理3.2 \(X^*\) 中(强拓扑意义下)的有界闭集是 弱*拓扑紧集。

推论(2) by定理3.2 \(X\) 中的单位闭球是弱拓扑紧的当且仅当 \(X\) 是自反空间。

总结

弱拓扑和弱*拓扑的本质都是对一系列泛函 \(\Lambda\) 抽象出的最弱拓扑，具体来看，就是由邻域基

\[\mathcal{N}=\{x:|l(x-x_0)|<\epsilon,l\in \Lambda\} \]

所生成（有限交 & 任意并）得到的拓扑，从而保持 \(\Lambda\) 中的所有元素的连续性；

对于弱拓扑，\(\Lambda=X^*\)；对于弱*拓扑，\(\Lambda=X\) 在 \(X^{**}\) 中的嵌入；对于非自反的空间，弱 *拓扑更弱于弱拓扑。弱收敛和弱 *收敛，实际上就是在两种拓扑空间中的点列收敛，是局部的刻画。而弱拓扑给出了对原空间和对偶空间联系的整体观点。

References

[1] Peter D. Lax, Functional analysis, Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York, 2002. pp117-121.

[2] James Munkres, Topology, Second Edition, Pearson education, 2014. pp129-133.