扩展拉格朗日反演和图计数

前几天学习了一下扩展拉格朗日反演（因为模拟赛考了），推了一下点双和边双图的计数，记录一下。

前置技能：无向连通图计数

设有标号无向图的 egf 为 \(F(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{f_ix^i}{i!}\)，容易知道 \(f_i=2^{n\choose 2}\)，则有标号连通无向图的 egf 满足 \(G=\ln F\)。

边双连通图

首先设有根连通无向图的指数生成函数是 \(D(x)\)，有根边双连通图的指数生成函数是 \(B(x)\)。
用 \(B\) 来表示 \(D\)：假设根所在边双大小 \(n\)，其egf为 \(\frac{b_nx^n}{n!}\)，而对于其相邻的边，对于其中一条边，它挂着一个连通无向图，接在边双的任意一个点上，所以得到它的egf为 \(nD(x)\)；若干边自由排列（这里也可以理解成集合的组合），故邻边的egf是 \(\exp(nD(x))\)。
枚举大小求和得 $$D(x)=\sum_{n\ge 1} \frac{b_nx^n\exp(nD(x))}{n!}=B(x\exp(D(x)))$$
设 \(F(x)=x\exp(D(x))\) 则 \(D(x)=B(F(x))\)；
两边对 \(F(x)\) 作复合逆得 \(B(x)=D(F^{-1}(x))\)。
有扩展拉格朗日反演公式如下：

\[[x^n]A(B^{-1}(x))=\frac{1}{n} [x^{n-1}]A'(x)(\frac{x}{B(x)})^n \]

代入可得 \([x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]D'(x)(\frac{x}{F(x)})^n\)，继续化简可得

\[[x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]D'(x)\exp(-nD(x)) \]

我们可以在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度求得 \(B(x)\) 的一项系数，注意是有根边双的egf，最后要乘一个 \(n!\) 和除以一个 \(n\)。

点双连通图

依然设有根连通无向图的指数生成函数是 \(D(x)\)。
点双肯定从点考虑，分析一下一个连通图点双分解的形态，根节点被若干个点双包含。
设 \(b_i\) 为 \(i\) 个点的点双图数目。
一个包含根的点双，除了根另有 \(n\) 个点，这 \(n\) 个点都挂着有根连通无向图，可得这一群点的 egf 为 \(\sum_{n\ge 1} b_{n+1} \frac{D(x)^n}{n!}\)。
将点双自由排列（这里也可以理解成集合的组合），要选根再乘上一个 \(x\)，得到

\[D(x)=x\times \exp(\sum_{n\ge 1} b_{n+1} \frac{D^n(x)}{n!}) \]

设 \(B(x)=\sum_{i=1}^\infty b_{i+1}\frac{x^i}{i!}\)，化简得到

\[D(x)=x\exp B(D(x)) \]

继续变换得 \(x=\frac{D(x)}{\exp B(D(x))} \rightarrow D^{-1}(x)=\frac{x}{\exp B(x)}\)
因此，\(B(x)=\ln \frac{x}{D^{-1}(x)}\)，复合逆多项式是不能直接求出来的。
记辅助函数 \(G(x)=\ln \frac{D(x)}{x}\) 则 \(B(x)=G(D^{-1}(x))\)。

代入扩展拉格朗日反演：

\[[x^n]B(x)=\frac{1}{n} [x^{n-1}]G'(x) (\frac{x}{D(x)})^n \]

我们要求的即 \(b_n=[x^{n-1}]B(x)\) 可以单次 \(O(n\log n)\) 计算。
注意要特判掉 \(n=1\) 的情况。

笔者注（2020.3.20）
注意这里 \(b_n\) 不强调有根，仔细考虑后究其原因如下：
首先，有根意味着我们考虑当前这个根节点的标号，标号为 \(1\sim n\) 算作不同的。
在边双连通图计数中，我们直接考虑了根所在的边双，给根节点安排一个标号是必要的。
在点双连通图计数中，我们考虑的是每个点双除去根节点以外的标号顺序，给根节点安排不同的标号显然毫无意义。而我们最后乘上一个 \(x\)，根据 egf 的定义，相当于解决了给根节点安排了序号的问题。