组合数学各类公式及应用总结

• 卡特兰数
• 第一类Stirling数
• 第二类Stirling数
• 贝尔数
• 那罗延数
• 默慈金数
• 卢卡斯定理

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卡特兰数

应用

• 矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案?
• 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
• 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数
• 给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？
• 给定n对括号，求括号正确配对的字符串数

递推式：

• 
• 
  前几项：
  1,1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796
  

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第一类Stirling数

应用

• 将n个物体排成k个非空循环排列(非空的)的方法数

递推式：
前几项：

第二类Stirling数

 **应用**

• n个元素划分成k个无序集合的方案数

递推式：

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前几项：

贝尔数

应用

• 包含n个元素的集合的划分方法的数目。

递推式：

• 

• ，其中为第二类Stirling数
  前几项：
  1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877,4140, 21147, 115975

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那罗延数

应用

• 在由n对”(“和”)”组成的字符串中，共有k对”(“与”)”相邻，这样的字符串一共有N(n,k)个

递推式：
前几项：

n\k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1
2	1	1
3	1	3	1
4	1	6	6	1
5	1	10	20	10	1
6	1	15	50	50	15	1
7	1	21	105	175	105	21	1
8	1	28	196	490	490	196	28	1

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默慈金数

应用

• 在一个圆上的n个点间，画出彼此不相交的弦的全部方法的总数

递推式：

• 
• 
  前几项：
  1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634
  

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卢卡斯定理

应用:
- 大组合数求模
公式：
Cmn%p=Cmpnp∗Cm%pn%p$C_n^m\mathrm{\%}p=C_{\frac{n}{p}}^{\frac{m}{p}}\ast C_{n\mathrm{\%}p}^{m\mathrm{\%}p}$