[学习笔记]多项式对数函数（多项式 ln）

思路

ln套多项式看成复合函数，（因为ln不好处理）复合函数两边同时求导，可得\(\dfrac{A'(x)}{A(x)}\)。然后记得积分回来。
前置知识：多项式求逆，多项式求导、积分

code:

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef long long ll;
const int N=1e6+5;
const ll mod=998244353;
ll inv[N],inv3,f[N],gen[2][N];
ll ksm(ll a,ll b) {ll mul=1;for(;b;b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)mul=mul*a%mod;return mul;}
int n,rev[N],L,up;
void NTT(ll *a,int op) {
	for(int i=0;i<up;i++) {
		if(rev[i]>i)swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int mid=1;mid<up;mid<<=1) {
		int len=mid<<1;ll w1=gen[op][len];
 		for(int l=0;l<up;l+=len) {
 			ll W=1;
			for(int i=0;i<mid;i++,W=W*w1%mod) {
				int p=l+i,q=p+mid;
				ll x=a[p],y=W*a[q];
				a[p]=(x+y)%mod;a[q]=(x-y)%mod;
			}
		}
	}
}

void gt_up(int len) {
	up=1,L=0;
	while(up<len) {up<<=1,L++;}
	for(int i=1;i<up;i++) {rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));}
}
ll a[N];
void poly_inv(int dep,ll *f,ll *b) {	// b = f mod(x^dep) 
	if(dep==1) {b[0]=ksm(f[0],mod-2);return;}
	poly_inv((dep+1)>>1,f,b);
	gt_up(dep<<1);
//	printf("%d %d\n",dep,up);
//	for(int i=0;i<up;i++)printf("%lld ",a[i]);puts("");
//	for(int i=0;i<up;i++)printf("%lld ",b[i]);puts("");
	for(int i=0;i<dep;i++)a[i]=f[i];for(int i=dep;i<up;i++)a[i]=0;
	NTT(b,0);NTT(a,0);
	for(int i=0;i<up;i++) {a[i]=(2-a[i]*b[i]%mod)*b[i]%mod;}
	NTT(a,1);
	ll i_up=ksm(up,mod-2);
	for(int i=0;i<dep;i++) {b[i]=a[i]*i_up%mod;} for(int i=dep;i<up;i++)b[i]=0;
//	for(int i=0;i<dep;i++) {printf("%lld ",b[i]);}puts("");
}

void gt_gen(int len) {
	inv3=ksm(3,mod-2);
	gt_up(len);
//	printf("!%d\n",up);
	gen[0][up]=ksm(3,(mod-1)/up);gen[1][up]=ksm(inv3,(mod-1)/up);
	for(int i=up;i;i>>=1) {
		gen[0][i>>1]=gen[0][i]*gen[0][i]%mod;
		gen[1][i>>1]=gen[1][i]*gen[1][i]%mod;
	}
	inv[1]=1;for(int i=2;i<up;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}

void poly_dao(ll *f,ll *g) {
	for(int i=1;i<n;i++) g[i-1]=f[i]*i%mod;g[n-1]=0;
}
void poly_jf(ll *f,ll *g) {
	for(int i=1;i<n;i++) g[i]=f[i-1]*inv[i]%mod;g[0]=0;
}
ll d[N],g[N];
void poly_ln(ll *f) {
	poly_dao(f,d);
	poly_inv(n,f,g);
//	for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",d[i]);puts("");
//	for(int i=0;i<n;i++)printf("%lld ",(g[i]+mod)%mod);puts("");
	gt_up(n<<1);
	NTT(d,0),NTT(g,0);
	for(int i=0;i<up;i++)g[i]=d[i]*g[i]%mod;
	NTT(g,1);
	for(int i=0,i_up=ksm(up,mod-2);i<up;i++)g[i]=(i<up)?(g[i]*i_up%mod):0;
	poly_jf(g,f); 
}

int main() {
	scanf("%d",&n);
	gt_gen(n<<1);
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	poly_ln(f);
	for(int i=0;i<n;i++) {if(f[i]<0)f[i]+=mod;printf("%lld ",f[i]);}
	return 0;
}