luogu P1107 雷涛的小猫 题解

\quad 不难发现，这是一道$dp$题。看完题后，很容易能想到以高度为阶段来进行$dp$。那么，状态设置也可以顺水推舟地想到：$d{p}_{i,j}$表示在第$j$棵树，高度为$i$的地方可获得的最大柿子数。

\quad 然后，我们就可以考虑状态转移。我们可知：得到$d{p}_{i,j}$的方式有两种，一是从$d{p}_{i+1,j}$转移来，二是从$ma{x}_{d{p}_{i+delta,k}(k\in [1\sim n],k\ne j)}$转移来。如果硬按照这个转移式来写，不难发现，时间复杂度是$O(n^{2}h)$，显然会$TLE$。那么我们就可以将取$max$的步骤进行优化。但是本题解的优化方法与其他的可能有些许区别。

\quad 想优化，最简单的就是另开一个数组记录高度为$i$时$d{p}_{i,j}$的最大值，在转移时直接调用。这一优化，本质还在于用前面已更新的来更新自己。然而，本题解的优化方法，本质是用已更新的自己来更新后面。也就是，在对$d{p}_{i,j}$进行转移时，顺便记录下最大值，然后用它去更新$d{p}_{i-delta,k}(k\in [1\sim n],k\ne j)$。其实并没有太大区别……

\quad 具体细节见$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2010;
int n, h, d;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn][maxn];

inline int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) {
        if(ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

int main() {
    n = read(), h = read(), d = read();
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x = read();
        for(int j = 1; j <= x; j ++)
            a[i][read()] ++;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 0; j <= h; j ++)
            dp[i][j] = a[i][j];//直接将a数组全部赋给dp数组
    for(int i = h; i >= 0; i --) {
        int maxx = -1, maxid;
        for(int j = 1; j <= n; j ++) {
            if(dp[j][i] > a[j][i]) {//是从别的树上跳过来的
                dp[j][i] = max(dp[j][i], dp[j][i + 1] + a[j][i]);//判断是从别的树上跳过来收益大，还是从这棵树的上一个高度跳过来收益大
                if(dp[j][i] > maxx) {//取最大值
                    maxx = dp[j][i];
                    maxid = j;
                }
                continue;
            }
            dp[j][i] += dp[j][i + 1];//从上一个高度跳下来
            if(dp[j][i] > maxx) {//取最大值
                maxx = dp[j][i];
                maxid = j;
            }
        }
        if(i >= d) {//用当前最大值去更新后面的
            for(int j = 1; j <= n; j ++) {
                if(j != maxid) dp[j][i - d] += maxx;
            }
        }
    }
    int maxx = -1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) maxx = max(maxx, dp[i][0]);
    printf("%d", maxx);
    return 0;
}