算法第三章实践报告

最低通行费

1.1

递归方程式：

dp[1][1] = a[1][1]

dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[1][j] （j ≥ 2）dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1] （i ≥ 2）

dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) （i,j ≥ 2）

方程式的定义：

a[i][j] 表示第 i 行、第j列格子的费用

dp[i][j]表示从 (1,1) 到 (i,j) 的最小费用，包含起点和 (i,j) 格子的费用

边界条件：

当 i=j=1 时：dp[1][1] = a[1][1]当 i=1、j≥2 时：dp[1][j] = dp[1][j−1] + a[1][j]当 j=1、i≥2 时：dp[i][1] = dp[i−1][1] + a[i][1]

1.2

表的维度：

行和列都是N

填表范围：

起点：dp[1][1]

第一行：dp[1][j]，2 ≤ j ≤ N

第一列：dp[i][1]，2 ≤ i ≤ N

内部格子：dp[i][j]，2 ≤ i ≤ N，2 ≤ j ≤ N

填表顺序：

先计算起点 dp[1][1]，再填第一行和第一列。然后令 i 从 2 到 N 递增；对于每个 i，令 j 从 2 到 N 递增，依次填入 dp[i][j]。这样计算每个内部格子时，它上方和左方的状态都已计算完成

原问题的最优值是dp[N][N]

1.3

时间复杂度: O(N²)

空间复杂度 : O(N²)