算法第二章实践作业

第一题：
给定数组 A 和整数 k，先从数组中随机选一个元素作为分界线，把其余元素与它比较并划分，使不大于分界线的元素在左边、大于分界线的元素在右边，此时分界线的排名为 rank（即左边元素个数加 1）。然后将 k 与 rank 比较：若 k 等于 rank，分界线就是第 k 小的数，直接返回；若 k 小于 rank，说明答案在左半部分，只在左半部分中继续查找第 k 小的数；若 k 大于 rank，说明答案在右半部分，只在右半部分中继续查找第 (k − rank) 小的数。如此不断缩小范围，直到区间只剩一个元素，该元素即为所求。

第二题：
最好情况：O(n)
第一次划分时枢轴恰好就是第 k 小的数，只需扫描一遍数组，代价为 n，直接返回。即使每次划分都很均衡，递推式为 T(n) = T(n/2) + O(n)，解得 O(n)。

最坏情况：O(n²)
每次选到的枢轴都是当前区间的最小值或最大值（例如数组已有序而总选第一个元素作枢轴），每次只能排除一个元素：T(n) = T(n−1) + O(n) = O(n²)
第三题：
体会思考：分治法的主要思想就是将复杂的问题拆分为多个子问题，然后再进行合并，这样更方便求解。但有时候也要注意子问题重复计算的问题，在某些情况下记得优化一下，降低时间复杂度。多数分治算法需要求解多个子问题并合并结果，但比如第一题的快速选择是分治的特例：划分之后只需要递归求解其中一个子区间，舍弃另一半，不需要合并子问题结果，减少了计算量。