策略梯度算法

在强化学习中，策略梯度算法是一类直接优化策略的方法，与基于值函数的方法（如Q-learning）不同，它通过参数化策略并沿性能梯度方向更新参数来学习最优策略。策略梯度方法具有处理连续动作空间、收敛性保证等优点，已成为深度强化学习中的核心算法之一。本文将介绍策略梯度的基本定理、关键组件（如优势函数）以及Actor-Critic框架，并讨论其实际应用。

策略梯度定理

策略梯度定理是策略梯度算法的理论基础。它定义了策略性能指标 $J(\theta)$（如期望累积奖励）关于策略参数 $\theta$ 的梯度。具体来说，策略 $\pi_\theta(a|s)$ 是一个参数化的概率分布，表示在状态 s 下选择动作 a 的概率。策略梯度定理表明，梯度$\nabla_\theta J(\theta)$可以表示为：

$$\nabla_\theta J(\theta) = \mathbb{E}_{s \sim d^\pi, a \sim \pi_\theta} \left[ \nabla_\theta \log \pi_\theta(a|s) \, Q^\pi(s, a) \right]$$

其中：

• $d^\pi(s)$是策略 π 下的状态分布，
• $Q^\pi(s, a)$是状态-动作值函数，表示在状态 s 执行动作 a 后的期望累积奖励。

这个公式允许我们通过采样轨迹来估计梯度，从而使用随机梯度上升优化策略。然而，直接使用$Q^\pi(s, a)$会导致高方差，因此通常引入基准函数（如状态值函数 $V^\pi(s)$）来减少方差。

优势函数

优势函数（Advantage Function）在策略梯度算法中起着关键作用，它用于衡量某个状态下采取某个动作相对于平均水平的优越性。优势函数定义为：

$$A(s, a) = Q(s, a) - V(s)$$

其中：

• $Q(s,a)$ 是状态-动作值函数，
• $V(s)$ 是状态值函数，表示在状态 s 下的期望累积奖励。

为什么使用优势函数

1. 方差减小： 直接使用总收益（如蒙特卡洛估计）的梯度估计可能会导致高方差，因为总收益是一个随机变量。优势函数通过减去基准值 V(s) 可以减小这种方差，使梯度估计更加稳定。在策略梯度中，使用优势函数后，梯度公式变为：

$$\nabla_\theta J(\theta) = \mathbb{E}_{s \sim d^\pi, a \sim \pi_\theta} \left[ \nabla_\theta \log \pi_\theta(a|s) \, A(s, a) \right]$$

这显著提高了学习效率。

2. 消除基准： 优势函数的形式消除了基准项 V(s)，这样可以减小梯度估计的偏差。在训练过程中，我们只关心动作相对于平均水平的优越性，而不是绝对的奖励值。通过减去基准，我们更关注哪些动作比平均水平更好，从而引导策略改进。

3. 更好的收敛性： 使用优势函数可以帮助算法更快地收敛。优势函数通常具有更平滑的梯度，这有助于避免训练过程中的不稳定性，提高学习的稳定性和效率。在实践中，优势函数常通过时间差分（TD）误差来估计，例如$A(s, a) \approx r + \gamma V(s') - V(s)$，其中 r 是即时奖励，γ 是折扣因子。

Actor-Critic框架

Actor-Critic并不是一个具体的算法，而是一个算法框架，结合了策略梯度（Actor）和值函数近似（Critic）的优点。在Actor-Critic中：

• Actor 负责学习策略 $\pi_\theta(a|s)$，并通过策略梯度更新参数 θ 以最大化期望奖励 J(θ)。
• Critic 负责学习价值函数（如 V(s) 或 Q(s,a)），并通过TD学习或其他方法更新参数，以评估Actor当前策略的性能。

Actor更新

Actor根据Critic提供的优势函数更新策略参数。具体来说，Actor的更新规则为：

$$\theta \leftarrow \theta + \alpha \nabla_\theta \log \pi_\theta(a|s) \, A(s, a)$$

其中 α 是学习率。这个更新方向使策略更倾向于选择具有正优势的动作（即比平均水平好的动作）。

Critic更新

Critic通过减少价值函数和TD target之间的差距来学习价值函数。例如，如果Critic学习状态值函数 $V_\phi(s)$，其中 ϕ 是参数，则更新目标是最小化TD误差：

$$\delta = r + \gamma V_\phi(s') - V_\phi(s)$$

Critic的更新规则为：

$$\phi \leftarrow \phi + \beta \delta \nabla_\phi V_\phi(s)$$

其中 β 是学习率。TD误差 δ 也常被用作优势函数的估计，即 $A(s, a) \approx \delta$。

优点

1. 高效学习： Critic通过提供价值函数来引导Actor学习更好的策略。这比只依靠稀疏的环境奖励学习更有效，尤其是在部分观测或长期奖励场景中。
2. 平滑梯度： 由于使用了值函数的引导，Actor-Critic方法通常具有更平滑的梯度方向。这有助于避免训练中的不稳定性，使得算法更容易收敛到一个好的策略。
3. 在线学习： Actor-Critic可以在线更新，无需等待整个轨迹结束，这使得它适用于连续任务和高维空间。

常见策略梯度算法

基于Actor-Critic框架，衍生出多种策略梯度算法，包括：

• REINFORCE： 一种蒙特卡洛策略梯度算法，使用整个轨迹的回报作为Q估计，但方差较高。
• A2C（Advantage Actor-Critic）： 使用优势函数减少方差，并采用多个线程并行学习。
• A3C（Asynchronous Advantage Actor-Critic）： A2C的异步版本，通过多个智能体异步更新全局模型。
• PPO（Proximal Policy Optimization）： 通过裁剪概率比来约束策略更新，提高稳定性。
• TRPO（Trust Region Policy Optimization）： 使用信任域方法确保策略更新不会过大。

这些算法在游戏AI、机器人控制等领域取得了显著成功。

总结

策略梯度算法通过直接优化策略来处理强化学习问题，优势函数和Actor-Critic框架是其核心组成部分。优势函数通过减小方差和提供相对评估来改进学习效率，而Actor-Critic结合了策略学习和值函数近似的优点，实现了稳定和高效的训练。尽管策略梯度算法在实践中仍面临挑战（如高方差和调参难度），但通过先进的技术（如PPO），它们已成为解决复杂决策任务的重要工具。

未来，随着对策略梯度理论的深入理解和计算资源的提升，策略梯度算法有望在更多领域发挥潜力，如自动驾驶、医疗诊断和自然语言处理。