二叉树

二叉树（Binary Tree）是计算机科学中一种基础且极其重要的数据结构。它是 $n$ 个结点的有限集合，其特点是每个结点最多只有两个子结点，通常被称为“左孩子”和“右孩子”。

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1. 二叉树的基本概念

在二叉树中，不存在度大于 2 的结点。二叉树的子树有左右之分，次序不能任意颠倒。

• 根结点（Root）： 树的最顶端结点。
• 叶子结点（Leaf）： 没有子结点的结点。
• 深度（Depth）： 从根结点到该结点的最长路径上的结点数。
• 高度（Height）： 从该结点到叶子结点的最长路径上的结点数。
• 度（Degree）： 结点拥有的子树数量，二叉树中结点的度最大为 2。

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2. 特殊的二叉树类型

了解特殊的二叉树有助于我们在特定的场景下选择最优算法：

1. 满二叉树 (Full Binary Tree)： 除了叶子结点外，每个结点都有两个子结点，且所有叶子结点都在同一层。
2. 完全二叉树 (Complete Binary Tree)： 除了最后一层外，其他各层的结点数都达到最大，且最后一层的结点都集中在左侧。
3. 二叉搜索树 (Binary Search Tree, BST)： 左子树所有结点的值均小于根结点，右子树所有结点的值均大于根结点。这种结构极大地提高了搜索效率。
4. 平衡二叉树 (AVL Tree)： 它是一棵二叉搜索树，且任何结点的两个子树的高度差（平衡因子）不超过 1。

[Image comparing full binary tree, complete binary tree, and binary search tree]

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3. 二叉树的存储结构

顺序存储（数组）

通常用于完全二叉树。对于编号为 $i$ 的结点：

• 左孩子下标为 $2i$
• 右孩子下标为 $2i + 1$
• 父结点下标为 $i/2$

链式存储（指针）

这是最常用的方式。每个结点包含三个部分：数据域、左孩子指针、右孩子指针。

Python

class TreeNode:
    def __init__(self, value):
        self.val = value
        self.left = None
        self.right = None

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4. 二叉树的遍历方式（核心）

遍历是指按某种次序访问树中所有结点，使每个结点被访问且仅被访问一次。

深度优先遍历 (DFS)

• 前序遍历 (Pre-order)： 根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右
• 中序遍历 (In-order)： 左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右（对 BST 进行中序遍历可以得到升序序列）
• 后序遍历 (Post-order)： 左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根

广度优先遍历 (BFS)

• 层序遍历 (Level-order)： 按照从上到下、从左到右的顺序逐层访问。通常利用队列 (Queue) 实现。

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5. 二叉树的常用性质

在处理算法题或计算复杂度时，以下性质非常有用：

• 在二叉树的第 $i$ 层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点 ($i \ge 1$)。
• 高度为 $h$ 的二叉树最多有 $2^h - 1$ 个结点。
• 度数关系： 若叶子结点数为 $n_0$，度为 2 的结点数为 $n_2$，则必定满足 $n_0 = n_2 + 1$。
• 具有 $n$ 个结点的完全二叉树的深度为 $\lfloor \log_2 n \rfloor + 1$。

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6. 二叉树的应用场景

• 表达式树： 用于编译器处理算术表达式。
• 哈夫曼树 (Huffman Tree)： 用于数据压缩算法。
• 堆 (Heap)： 优先队列的核心实现，本质是完全二叉树。
• B-树/B+树： 虽然不是二叉树，但是由二叉树思想演变而来，广泛用于数据库索引。