BZOJ 3453: tyvj 1858 XLkxc

Description

求\(\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=1}^{a+i \times d} \sum_{l=1}^{j}l^k\)

\(k\leqslant 123,a,n,d< p=123456791\)

Solution

多项式插值。

这个好像可以xjb乱插值，自然数幂和是一个\(k+1\)次多项式，他的前缀和是\(k+2\)次多项式，前缀和的前缀和是个\(k+3\)次多项式。

他在函数上是连续的，然后直接插值？

Code

/**************************************************************
    Problem: 3453
    User: BeiYu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:20 ms
    Memory:1644 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
const int N = 150;
const LL  p = 1234567891LL;
 
inline LL in(LL x=0,char ch=getchar()) { while(ch>'9' || ch<'0') ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x; }
LL Pow(LL a,LL b,LL r=1) { for(;b;b>>=1,a=a*a%p) if(b&1) r=r*a%p;return r; }
void Add(LL &x,LL y) { x=(x+y%p)%p; }
 
LL k,a,n,d;
LL f[N][N],g[N][N];
LL inv[N];
 
void A(int k) {
    for(int i=1;i<k+3;i++) f[0][i]=(Pow(i,k)+f[0][i-1])%p;
    for(int i=1;i<k+3;i++) Add(f[0][i],f[0][i-1]);
    for(int i=1;i<k+3;i++) for(int j=i;j<k+3;j++) 
        f[i][j]=(f[i-1][j]-f[i-1][j-1]+p)%p;
}
LL Getf(LL x,int k) {
    LL t=1,r=0;x%=p;
    for(int i=0;i<k;i++) {
        Add(r,f[i][i]*t);
        t=t*(x-i+p)%p*inv[i+1]%p;
    }return r;
}
void B(int k) {
    A(k);
    g[0][0]=Getf(a,k+3);
    for(int i=1;i<k+4;i++) g[0][i]=Getf(a+i*d,k+3)+g[0][i-1];
    for(int i=1;i<k+4;i++) for(int j=i;j<k+4;j++) 
        g[i][j]=(g[i-1][j]-g[i-1][j-1]+p)%p;
}
LL Getg(LL x,int k) {
    LL t=1,r=0;
    for(int i=0;i<k;i++) {
        Add(r,g[i][i]*t);
        t=t*(x-i)%p*inv[i+1]%p;
    }return r;
}
 
void Solve() {
    k=in(),a=in(),n=in(),d=in();
    B(k);
    printf("%lld\n",Getg(n,k+4));
}
 
int main() {
    inv[0]=1;for(int i=1;i<N;i++) inv[i]=Pow(i,p-2);
    for(int T=in();T--;) Solve();
    return 0;
}