ARC212C 学习笔记

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挺不错的计数题。

题意：
n个相同的球，m个不同的盒子，需要将球涂成红色或蓝色，然后放入盒子中，记在第\(i\)个盒子中红色球的数量为\(a_i\)，蓝色球的数量为\(b_i\)。

求所有方案的 $ \large\prod\limits_{i=1}^m | a_i - b_i | $ 的和，结果对 \(998244353\) 取模。

正解：

首先我们可以发现一红一蓝放进一个盒子会抵消，我们可以先枚举有 \(x\) 对红蓝球会成对出现在盒子里，这个系数可以用插板法直接求出来，即 $ \binom{x+m-1}{m-1} $

然后，我们再考虑把剩下的球放进盒子里，这个时候每个盒子里的球应该只涂成一个颜色，因为前面先放了成对的球，这里用不着再枚举了，这样一共有 $ 2^m $ 种涂法。 注意这里也有可能有些盒子里没有球，但是这样的放法是没有贡献的，所以这里可以直接乘。

接下来要考虑的就是，怎么计算这个恶心的乘积的和。我们发现，这个乘积实际上就是“从每个盒子里挑出一个球的方案数量”，这实际上相当于，排列m个要挑出来的球，m-1个隔板，和剩下的没挑出来的球的方案数量，m个要挑出来的球和m-1个隔板可以看作是2m-1个隔板，那么这个东西也能直接求出来，即 $ \binom{n-2x+m-1}{2m-1} $ （这块有bug，待修改）

然后，这个东西就能直接 $ O(n) $ 求了，非常牛逼！