矩阵运算/矩阵快速幂

1.矩阵加减法

1.1矩阵加法

矩阵加法就是把两个矩阵对应的每一项相加，得出答案矩阵.显然，只有同型矩阵才能相加.
例:

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 6 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 9 & 5 \\ \end{pmatrix} \]

1.2矩阵减法

矩阵减法就是把两个矩阵对应的每一项相减，得出答案矩阵.也显然，只有同型矩阵才能相减.
例:

\[\begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 8 & 7 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ 4 & 5 \\ \end{pmatrix} \]

1.3矩阵加法单位元矩阵

在某种运算下，任意元素与一个元素进行运算后还是其本身，那么这个元素就是单位元.例如加法的单位元是\(0\)，乘法的单位元是\(1\).
设矩阵运算的单位元矩阵为\(O\).

1.4矩阵加法的运算律

\(①A+B=B+A\)
\(②(A+B)+C=A+(B+C\)
\(③A+O=A\)
\(④A+(-A)=O\)
\(⑤A+B=C\Leftrightarrow A=C-B\)

2.矩阵的数乘

2.1矩阵的数乘

一个数乘上一个矩阵，让这个数乘上矩阵的每一个数，得到答案矩阵，例如:

\[5\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \\ \end{pmatrix} \]

2.2矩阵数乘的运算律

\(①k(A+B)=kA+kB\)
\(②(p+q)A=pA+qA\)
\(③pq(A)=(pq)A\)

3.矩阵的乘法

3.1矩阵乘法运算法则

设两个矩阵\(A_{n,m}\)、\(B_{m,p}\)，则它们相乘得到矩阵\(C_{n,p}\).

\[C_{i,j}=\sum_{1\leq k\leq m}A_{i,k}\ast B_{k,j} \]

显然可得:
(1)两矩阵做乘法运算时，只有当左边矩阵列数与右边矩阵的行数一致时才有意义.
(2)结果矩阵\(C\)的行数与\(A\)的行数相同，与\(B\)的列数相同.
例:

\[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \]

\(①\)用第一个矩阵的第\(1\)行乘上第二个矩阵的第\(1\)列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第\(1\)行第\(1\)列;

\[\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & 0 & 1 \\ \color{red}{0} & 1 & 1 \\ \color{red}{0} & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{2\times1+1\times0+0\times0} & \cdots \\ \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \]

\(②\)用第一个矩阵的第\(1\)行乘上第二个矩阵的第\(2\)列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第\(1\)行第\(2\)列;

\[\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \color{red}{0} & 1 \\ 0 & \color{red}{1} & 1 \\ 0 & \color{red}{1} & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & \color{red}{2\times0+1\times1+0\times1} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \]

\(③\)用第一个矩阵的第\(1\)行乘上第二个矩阵的第\(3\)列，即对应元素相乘再相加，放在结果矩阵的第\(1\)行第\(3\)列;

\[\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & \color{red}{1} \\ 0 & 1 & \color{red}{1} \\ 0 & 1 & \color{red}{1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & \color{red}{2\times0+1\times1+0\times1} \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{pmatrix} \]

\(④\)同理，依次用第一个矩阵的第\(2\)行乘上第二个矩阵的第\(1\)列、第\(2\)列和第\(3\)列，分别放在结果矩阵的第\(1\)列、第\(2\)列和第\(3\)列.

\[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{1} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{1} \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & \color{red}{2} \\ \end{pmatrix} \]

最终得到答案矩阵:

\[\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \]

3.2矩阵乘法的运算律

3.2.1结合律

\[(AB)C=A(BC) \]

3.2.2分配律

\[A(B+C)=AB+AC\\ (B+C)A=BA+BC \]

3.2.3交换律

在矩阵乘法中，交换律不一定成立，例:

\[A= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\\ \]

按照上面的计算方法分别可得:

\[AB= \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \]

\[AB= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -3 \\ \end{pmatrix} \]

显然\(AB\neq BA\).
当然从另一个方面也可证矩阵乘法的交换律不一定成立:
设\(A\)是一个\(m\times n\)的矩阵，\(B\)是一个\(r\times s\)的矩阵，那么\(AB\)是一个\(m\times s\)的矩阵，\(BA\)是一个\(r\times n\)的矩阵，也显然\(AB\neq BA\).
矩阵乘法的交换律不一定成立，那么下面的推论也不一定成立:

\[(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\neq A^2+2AB+B^2 \]

\[(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2\neq A^2-B^2 \]

以上两种情况只有在\(AB=BA\)时，不等号变为等号.

3.3例题

洛谷B2105 矩阵乘法，讲课这么多，直接上代码.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,k,a[105][105],b[105][105],ans[105][105];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n>>m>>k;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		for(ll j=1;j<=k;j++){
			cin>>b[i][j];
		}
	}
	for(ll p=1;p<=m;p++){
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			for(ll j=1;j<=k;j++){
				ans[i][j]+=a[i][p]*b[p][j];
			}
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=k;j++){
			cout<<ans[i][j]<<" ";
		}
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

4.矩阵快速幂

快速幂不会的看这里:快速幂模版，会了矩阵，会了快速幂，那么\(矩阵+快速幂=矩阵快速幂\).
因为矩阵乘法是满足结合律的，所以一个单位矩阵用快速幂乘上n次就是我们的矩阵快速幂了，或者说，矩阵快速幂就是把快速幂里的乘法换成矩阵乘法.
上代码

#include<bits/stdc++.h>//求矩阵A的k次方 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e2+5,mod=1e9+7;
ll n,k,a[maxn][maxn],c[maxn][maxn],ans[maxn][maxn];
void mul1(){
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			c[i][j]=0;
		}
	}
	for(ll k=1;k<=n;k++){
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			for(ll j=1;j<=n;j++){
				c[i][j]=(c[i][j]+ans[i][k]*a[k][j])%mod;
			}
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			ans[i][j]=c[i][j];
		}
	}
}
void mul2(){
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			c[i][j]=0;
		}
	}
	for(ll k=1;k<=n;k++){
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			for(ll j=1;j<=n;j++){
				c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%mod;
			}
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			a[i][j]=c[i][j];
		}
	}
}
void jzksm(){
	while(k){
		if(k&1){
			mul1();
		}
		mul2();
		k>>=1;
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n>>k;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		ans[i][i]=1;
	}
	jzksm();
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=n;j++){
			cout<<ans[i][j]<<" "; 
		}
		cout<<"\n";
	}
	return 0;
}

posted @ 2026-10-18 18:10 beiciqi 阅读(3) 评论(0) 收藏举报

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