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数理统计与Matlab: 第1章 数理统计基本概念

Posted on 2012-06-22 09:55  白途思  阅读(1267)  评论(0编辑  收藏  举报

1.1 总体与样本

总体:研究对象的全体。一维或多维数量指标。随机变量。

个体:每个研究对象。

样本:总体的一部分。

1.1.1简单随机样本

,i.i.d,独立同分布。无限总体抽样。

在Matlab中各种随机数可以认为是独立同分布的,即简单随机样本。以下罗列在Matlab中的实现方法。

,均匀分布样本

n=10;x=rand(1,n)

n=10;a=-1;b=3;x=rand(1,n);x=(b-a)*x+a

,正态分布样本

n=10;x=randn(1,n)

mu=80.2;sigma=7.6;m=1;n=10;
x=normrnd(mu,sigma,m,n)

上面首先对总体均值赋值mu=80.2;再对标准差赋值sigma=7.6; m=1;n=10;分别对生成的随机阵对的行数和列数进行赋值,然后可直接利用Matlab自带的函数normrnd生成正态分布的随机数。

类似地可生成m行n列的随机矩阵,服从指定的分布。生成随机数的函数后缀都是rnd,前缀为分布的名称。常用分布的随机数产生方法罗列如下,注意使用前先要对参数赋值。

x=betarnd(a,b,m,n) 参数为a,bbeta分布;

x=binornd(N,p,m,n) 参数为N,p的二项分布;

x=chi2rnd(N,m,n) 自由度为N分布;

x=exprnd(mu,m,n) 总体期望为mu的指数分布;

x=frnd(n1,n2,m,n) 自由度为n1n2F分布;

x=gamrnd(a,b,m,n) 参数为a,b分布;

x=lognrnd(mu,sigma,m,n) 参数为musigma的对数正态分布;

x=poissrnd(mu,m,n) 总体均值为muPoisson分布;

x=trnd(N,m,n) 自由度为NT分布;

Matlab统计工具箱中还有一些其它分布,不再一一列举。

对于已知密度函数的不常用连续型总体,若想产生服从该分布的随机数,可用如下方法。

例1.1 设总体密度函数为

试从该总体中抽取容量为1000的简单随机样本。

利用matlab编辑窗口保存以下程序,保存为ex11.m

n=1000;

x=zeros(1,n);

k=0;

while k<n

a=rand*pi-pi/2;

b=rand/2;

if b<(cos(a)/2)

k=k+1;

x(k)=a;

end

end

注意理解其原理。保存完成之后,在命令窗口执行ex11,则x被赋值。再执行下列命令,就可以得到这个容量为1000的样本的直方图。

hist(x,-pi/2:0.2:pi/2)

1.1.2有限总体的无放回样本

若有限总体为,希望从中无放回抽取容量为n的样本,这里N与n已经赋值,则可利用

r=randperm(N)

产生的一个随机全排列,即r是一个N维向量。于是,对于给定的N维向量X,令

x=X(r(1:n))

即可得到容量为n的无放回抽样本x

无放回抽样中,各样本点不是独立的。

1.2 统计量

统计量:样本的函数,不含参数,可根据样本观察值立即计算出数值。

以下设为来自总体的简单随机样本,列举出一些常用统计量。以下总假设为样本,为一行列矩阵,在Matlab中已经赋值。

1.2.1样本k阶矩

为样本k原点矩,对于已经赋值的正整数k,可以用如下命令得到

a(k)=mean(X.^k)

特别地,样本一阶原点矩就是样本均值,在matlab中用mean计算。

为样本k中心矩,对于已经赋值的正整数k,可以用如下命令得到

mu(k)=mean((X-mean(X)).^k)

特别地,称未修正样本方差,将

称为样本方差。称样本标准差。Matlab中用var(X)计算样本方差,用std(X)计算样本标准差。

1.2.2顺序统计量

对于样本,若将其依照数值大小由小到大重新排列为

则称每个为原来样本的顺序统计量。

可以证明,若总体服从(0,1)上的均匀分布,则有

特别地,就是样本中的最小值,可用min(X)计算;就是样本中的最大值,可用max(X)计算。Matlab命令

Y=sort(X)

可立即得到X的顺序统计量,满足

利用matlab中的sort函数,比自己编程序排序,可能会有较高效率。当在循环语句中反复使用排序时,应该优先选用。

1.2.3经验分布函数

定义1.1 设总体分布函数为为简单随机样本, 为顺序统计量,记

1-1)

则称经验分布函数或者样本分布函数

著名的格里汶科定理指出,当时,有

a.s.

以下命令产生了来自自由度为5的分布样本,样本容量为1000,并画出了此样本的经验分布函数。结果如图1-1所示

Y=chi2rnd(5,1,1000);[F,X]=ecdf(Y);

plot(X,F)

图1-1 经验分布函数示意图

以下自己编程扩展实现函数功能,将以下程序在matlab编辑窗口中输入并保存为myfn.m,今后对于myfn就可以像其它库函数一样直接调用。注意自己编写的函数文件,要注意最好可直接处理矩阵向量。以下myfn函数文件可以调试通过,但是,其编写过程还可以精确些,使得计算效率更高。如何改善请读者完成。

function y=myfn(t,x)

N=length(x); x=sort(x);

[m,n]=size(t); y=zeros(m,n);

for i=1:m

for j=1:n

s=0;

for k=1:N

if t(i,j)>=x(k)

s=s+1;

end

end

y(i,j)=s/N;

end

end

1.3 三个常用分布

以下罗列出数理统计中三个重要分布的概念与性质。

1.3.1 分布

定义1.2 设一维连续型随机变量的密度函数为

(1-2)

则称服从自由度为分布,记为

图1-2 分布密度函数示意图

(1)期望与方差:

(2)来源:若独立同分布,则

(3)可加性:若,且两者独立,则有

(4)重要结论:若,则

以下给出了自由度为5,10,20的分布的密度函数,如图1-2所示。

 

1.3.2 t分布

定义1.3 设一维连续型随机变量的密度函数为

(1-3)

则称服从自由度为分布,记为

图1-3 t分布密度函数与标准正态分布密度函数

(1)密度函数特点:与标准正态分布类似,方差较大。时,

(标准正态分布密度函数)

执行Matlab命令

x=-3:0.01:3; y5=tpdf(x,5);y10=tpdf(x,10);

y20=tpdf(x,20);y=normpdf(x);

plot(x,y5,x,y10,x,y20,x,y)

得到自由度为5,10,20的分布密度函数及标准正态分布密度函数的图形,如图1-3所示。

(2)来源:设,且两者独立,则

(3)重要结论:设,则

1.3.3 F分布

定义1.4 设一维连续型随机变量的密度函数为

(1-4)

其中常数

则称服从第一自由度,第二自由度F分布,记为

(1)密度函数特点:在附近密度函数取值较大,为单峰非对称的。当两个自由度都很大时,取值以较大概率集中在附近。以下Matlab命令画出了的密度函数。

x=0:0.01:3;y=fpdf(x,8,12);plot(x,y);

结果如图1-4所示。

图1-4 F分布密度函数

(2)来源:设,且两者独立,则

(3)重要结论:设为来自总体的简单随机样本,为来自总体的简单随机样本,且两者独立。又设两个样本方差分别为,则

 

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