第七章 参数估计

参数估计就是要从样本出发构造一些统计量作为总体某些参数（或数字特征）的估计量。

 

点估计就是构造统计量。

j=1,2,…n

以的值作为的近似值。对进行估计，叫(点)估计量。若样本值代入称为的估计值。

 

区间估计是根据样本构造出适当的区间，它以一定的概率包含未知参数。

 

§7.1 点估计

 

（一）矩估计法

1.矩估计法的基本思想

在总体的各阶矩存在的条件下，用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，又由于总体的分布类型已知，总体的各阶矩可表示为未知参数的已知函数，这样样本的各阶矩就与未知参数的已知函数联系起来，从而得到参数的各阶矩。

 

2.一般求法

 =1,2…k

=1,2…k

‚ 令 =1,2…k

ƒ将代入中， =1,2…k

 

 

例 2 P159总体X~U[a,b],参数a,b未知，求a,b的矩估计。

 

例 3 P160

 

 

以下为第一版例。

 

例7：总体X~U[0,b],参数b未知，求b的矩估计。

 

例8：总体，未知，已知 是来自总体X的样本值，求的矩估计。

 

例9：总体的概率密度为

参数 均未知， 是来自总体的样本，求的矩估计。

 

３.总体的数学期望与方差的矩估计

已知总体的二阶矩存在， 是来自总体的样本值。E(X),D(X)的矩估计是

注意： 此结论用于只要E(x)、D(x)存在的，不论分布是否已知的各类型总体的数字特征E(X)、D(X)的矩估计。

 

例：总体X~B(N,p)， 参数N、0<p<1均未知，已知 是来自总体的样本值，求N,p的矩估计 。

 

 

(二) 最大似然估计法

1. 最大似然估计法的基本思想

例：设在一个口袋中装有许多白球和黑球，但不知是黑球多还是白球多，只知道两种球的数量之比为1:3就是说抽取到黑球的概率为或。

 

如果用有放回抽取的方法从口袋中抽取n=3个球，发现有一个是黑球，试判断p=?。

X	0	1	2	3

当时，P（取的三个球中有一个黑球）=大。选取参数总体较合理。故取p的估计值。

最大似然估计基本思想：根据样本的具体情况，选择参数p的估计，使得该样本发生的概率最大。

 

2.最大似然估计的求法

设总体的形式已知，参数未知(j=1,2…m)， 是来自总体的样本值。

记，选择参数的估计，使样本取值附近的概率

…

=

= 达到最大，

等价使 达到最大。

称L=L()=为样本值的似然函数。

 

定义7.1如果似然函数L=L()在达到最大值，则称分别为的最大似然估计。

 

2.一般步骤

(1).当似然函数可微且参数集合是开集的条件下：

• 总体，

i =1,2…n

L=L()=

取对数

　②

　③由似然方程解出=?.。讨论是最大值点，则它是的最大似然估计。

 

例4 P162 ，求未知参数 的最大似然估计。

 

例 5 P163 总体，未知, 已知 是来自总体X的样本值,求的最大似然估计。

 

例 6 P165 总体X~U[a,b]，参数a,b未知， 已知 是来自总体的样本值，求b的最大似然估计。

 

 

 

以下为第一版例。

例2：总体=

参数未知， 是来自总体的样本值，求的最大似然估计。

例3：，求未知参数 的最大似然估计。［见书P159，例7.1］

总体X是离散值，一定要写出X的概率函数。

例4：一个罐子里装有黑球和白球，每次从中随机的有放回地抽取一个球，直到抽到黑球为止。设停止抽球时所需抽取数是X，这样独立重复的进行了n次实验，获得样本，试求罐子里黑球所占的比例中的最大似然估计。

 

例5：X服从参数为的威布尔分布，而

=

m>0,>0且未知， 是来自总体的样本值，求参数的最大似然估计。

 

(2)当似然函数L不可数时，或似然函数无解，要用定义求参数的最大似然估计。

例6：总体X~U[0,b]，参数b未知， 已知 是来自总体的样本值，求b的最大似然估计。

 

3.未知参数的已知函数的最大似然估计有如下规定：

若，未知参数的已知函数为，分别为的最大似然估计，则规定g()为g()的最大似然估计。

例：P习题7.5。

 

 

§7.2 估计量评选标准

 

1.无偏性：

定义：设()是的估计量，若E()=，对一切，则称为的无偏估计量，否则称为的有偏估计量。其偏差度为= E()－。如果 E()=，则称为的渐近无偏估计量。

 

书上定义是对g()而言的：

定义：设未知参数的已知函数g()的估计量为,如果对一切都有

则称为的无偏估计量。

 

例10：设总体有二阶矩，E(X)=,D(X)=存在，是该总体的样本，证明为的无偏估计，为的无偏估计，但不是的无偏估计，是的渐近无偏估计。

 

例11：总体X~U[a,b]，b>0，试问b的矩估计是否是b的无偏估计量。

注意:

(1)若为的无偏估计，g()为的已知函数，而g()不一定是g()的无偏估计。

(2)有时的有偏估计也可稍加修改为无偏估计。

例：设，是的无偏估计，但不是

的无偏估计，可修改为它是的无偏估计。

２.有效性

定义:若和都为的无偏估计量。若， 且至少对一个，有严格不等号成立，则称比有效。

例12：比较，,()。估计，哪个有效。

定义：设和都是g()的估计量， 如果对一切都有

　-g()]- g()]

且存在，有严格不等号成立，则称比有效。

此定义为均方误差准则。

３.相合性（一致估计量）

定义7.5：设g()的估计量为，如果对任意的>0,都有

=1

则称为的相合估计量。

 

§7.2 区间估计

一.基本概念

设, 是两个统计量，且满足，则称[A,B]为一随机区间。

 

定义7.6：对于给定的正数，如果对一切都有

则称[A,B]为的置信度为的置信区间，称为置信区间的置信度，称A、B分别为置信下限和置信上限。

常用的形式：

　　　　

 

例：某旅游社为调查当地每一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额（元）。根据经验，已知旅游者消费额服从正态分布，且标准差（元），那麽该地旅游者平均消费额的置信度为95%的置信区间是什麽。

设旅游者消费额为，且知，此题是求的置信区间的问题。

（1）找的较好点估计（最大似然估计或无偏估计），。

（2）为使，要选有关与的函数且知其分布。当已知时，，

 

称为枢轴变量。对给定的，使

（3）将不等式 等价变形

本例，计算

得到，当地每位旅游者置信度为95%的平均消费额在[77.6元，82.4元]之间。

 

Data;

u=probit(1-0.05/2);put u=;

A=80-(u*12)/sqrt(100); put A=;

B=80+(u*12)/sqrt(100); put B=;

run;

 

u=1.9599639845

A=77.648043219

B=82.351956781

 

 

定义：叫区间半径，叫区间中心，

叫区间长度。

 

 

二.置信区间的一般求法 (枢轴量法)

(1)从的一个较好点估计出发，构造与的一个函数 ，且知其分布又与无关，函数H称为枢轴变量。

(2)记H的上分为数和上（1-）分位数为和，使对给定的，有

利用不等式运算，将不等式

进行等价变形，使得最后得到形如：

的不等式。

则就是的置信区间，这时有：

定义：叫区间半径，或叫区间长度。

 

例1 P170，计算机实现过程。

 

Data;

z=probit(1-0.05/2);put z=;

A=5.2-(z*1)/sqrt(16); put A=;

B=5.2+(z*1)/sqrt(16); put B=;

C=B-A; put C=;

run;

z=1.9599639845

A=4.7100090039

B=5.6899909961

C=0.9799819923

 

P171页下面部分的数值解释。

Data;

u1=probit(0.04);put u1=;

u2=probit(1-0.01);put u2=;

 

A=5.2+(u1*1)/sqrt(16); put A=;

B=5.2+(u2*1)/sqrt(16); put B=;

C=B-A; put C=;

run;

u1=-1.750686071

u2=2.326347874

A=4.7623284822

B=5.7815869685

C=1.0192584863

 

 

 

三.正态总体的参数的区间估计

1.一个正态总体的均值、方差的置信区间

设总体，是来自总体的样本

(1)已知，均值的置信度为的置信区间为：

(2)未知，均值的置信度为的置信区间为：

。

(3)未知，方差的置信度为的置信区间为：

的的置信区间为：

 

1. 两个正态总体均值差方差比的置信区间

 

总体	样本	均值	样本方差

两个样本相互独立。

(1)已知，均值差的置信区间为

(2)未知，但，的置信区间为

[]

(3)未知，方差比的置信区间为：

[]

(4) 已知，的置信区间为：

[]

 

 

1. P174

 

 

Data;

t=TINV((1-0.05/2),15); put t=;

A=503.75-t*6.2022/sqrt(16); put A=;

B=503.75+t*6.2022/sqrt(16); put B=;

C=B-A; put C=;

run;

t=2.1314495456

A=500.44508091

B=507.05491909

C=6.6098381857

 

例2 P175

Data;

 

k1=CINV(1-0.05/2, 15);put k1=;

k2=CINV(0.05/2, 15);put k2=;

 

A=sqrt(15)*6.2022/sqrt(k1); put A=;

B= sqrt(15)*6.2022/sqrt(k2); put B=;

C=B-A; put C=;

run;

k1=27.488392863

k2=6.262137795

A=4.5815952687

B=9.5990905015

C=5.0174952328

 

例 3 P177

Data;

t=tINV(1-0.05/2, 28);put t=;

sw=sqrt((9*1.1**2+19*1.2**2)/28); put sw=;

A=500-496-sw*t*sqrt(1/10+1/20); put A=;

B=500-496+sw*t*sqrt(1/10+1/20); put B=;

C=B-A; put C=;

run;

 

t=2.0484071418

sw=1.1687905837

A=3.0727462146

B=4.9272537854

C=1.8545075707

 

例 4 P177

 

Data;

t=tINV(1-0.05/2, 14);put t=;

sw=sqrt((7*3.89+7*4.02)/14); put sw=;

A=91.73-93.75-sw*t*sqrt(1/8+1/8); put A=;

B=91.73-93.75+sw*t*sqrt(1/8+1/8); put B=;

C=B-A; put C=;

run;

t=2.1447866879

sw=1.9887181801

A=-4.152688139

B=0.1126881394

C=4.2653762788

 

例 5 P179

 

data ;

F1=FINV(1-0.1/2, 17,12) ; put F1=;

F2=FINV(0.1/2, 17,12) ; put F2=;

A=0.34/(0.29*F1); put A=;

B=0.34/(0.29*F2); put B=;

C=B-A; put C=;

Run;

F1=2.5828389059

F2=0.4200526125

A=0.4539244745

B=2.7911117756

C=2.3371873011

 

§7.5 (0---1)分布参数的区间估计

 

P179

 

例 P180

data;

z=probit(1-0.05/2);put z=;

a=100+z**2; put a=;

b=-(2*100*0.6+z**2); put b=;

c=100*0.6**2; put c=;

p1=1/(2*a)*(-b-sqrt(b**2-4*a*c)); put p1=;

p2=1/(2*a)*(-b+sqrt(b**2-4*a*c)); put p2=;

p=p2-p1; put p=;

run;

 

z=1.9599639845

a=103.84145882

b=-123.8414588

c=36

p1=0.5020025868

p2=0.6905987136

p=0.1885961268

 

 

 

§7.6 单侧置信区间

 

对于均值，单侧置信区间下限。公式（6.4）

对于方差，单侧置信区间上限。公式（6.6）

 

例 P182

 

Data;

t=tINV(1-0.05, 4);put t=;

mu=1160-sqrt(9950/5)*t; put mu=;

run;

t=2.1318467863

mu=1064.8995598

 

习题：

1，2，3，5，6，10，14，15，19，25