第二章 随机变量及其分布1

 

§2.1 随机变量

1. 概念

 

对于随机试验：

E

甲,乙两人同时向某目标射击一次

中靶情况

 

E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。

 

定义：随机变量是定义在样本空间S={ω}上的一个单值实函数，记作X=X(ω),简记为X。

 

1. 分类

1. 离散型随机变量
2. 非离散型随机变量

 

§2.2 离散型随机变量

 

一.离散型随机变量的分布

设离散型随机变量可能取的值为:

取这些值的概率为

P(X=_i)= p_i ,i=1,2,... (2.1)

称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:

X			…		…
P			…		…

上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式：

离散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。

 

根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质

（1）p_i0,i=1,2,...

（2）

 

常见的几种分布

1. 单点分布

例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）

 

2、0-1分布

例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为

X	0	1
P	q	p

0<p< 1,q=1-p，或记为P()=p^kq^1-k ,k=0,1

则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。

 

1. 几何分布

例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0<p<1),不中的概率为q=1-p.今向靶作独立重复射击，直到中靶为止，则消耗的子弹数X 是一个离散型随机变量，其分布为

 

X	1	2	3	…	k	…
P	p	qp	q2p	…	qk-1p	…

 

或记为

()=, k=1,2, ...

则称X服从参数为p的几何分布。

 

4、超几何分布

例: 设一批同类型的产品共有N件，其中次品有M件。今从中任取n(假定nN-M)件，则这n件中所含的次品数X是一个离散型随机变量，其分布为

,m=0,1…,k,k=min(M,n)

则称X服从超几何分布。

 

1. 二项分布

在n重伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个离散型随机变量，其分布为

P( X= k )=,k=0,1,2,¼,n,称X服从参数为n，p的二项分布。记为 。

 

例2:P39.

 

 

例3:P40.

 

在电脑上，应用相应的数学或统计分析软件，这些概率是很容易计算出来的，所以，还有必要用逼近的方法吗？