第一章 概率论的基本概论

确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等

 

随机现象：称某一现象是"随机的"，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。

 

由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。

例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是"随机的"----为一随机事件。

 

例：明天下午三点钟"深圳市区下雨"这一现象是随机的，其结果为随机事件。

 

随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？

 

这就要引入"概率"的概念。

 

概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1 随机试验

 

序号	条件	观察特性	可能结果
E1	抛一枚硬币	正、反面出现的情况	正面H,反面T
E2	将一枚硬币抛掷三次	正、反面出现的情况	HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT
E3	同上	出现正面的次数	0,1,2,3
E4	抛一颗骰子	出现的点数	1, 2, 3， 4，5，6
E5	记录电话交换机呼唤次数	一分钟内接到的呼唤次数	0,1,2,3,….
E6	一批灯泡中任抽取一次	测量使用寿命	非负实数
E7	记录某地昼夜温度	最高和最低温度

 

以上试验的共同特点是:

1．试验可以在相同的条件下重复进行；

2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；

3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。

我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E。

 

§1.2样本空间与随机事件

 

(一) 样本空间与基本事件

E的一个可能结果称为E的一个基本事件，记为ω，e等。

E的基本事件全体构成的集，称为E的样本空间，记为S或,

即：S={ω|ω为E的基本事件}，={e}.

注意：ω的完备性，互斥性特点。

 

例：§1.1中试验    E--- E₇

E：S={H,T}

E：S={ HHH,HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT }

E：S={0，1，2，3}

E：S={1,2,3,4,5,6}

E: S={0,1,2,3,…}

E：S={t}

E₇：S={}

 

（二） 随机事件

我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为

事件是由基本事件组成的，事件是样本空间的子集。

集合论	集合 点 子集
概率论	S A

 

在一次试验中，事件A 发生的含义是，当且仅当A 中的某一个基本事件发生。事件A 发生也称为事件A 出现。

必然事件：S

不可能事件：

 

例1.(P4) 在E₂中事件A₁:"第一次出现是的H",

即：

 

 

 

(三) 事件的关系与运算

 

设E 的S ，A ，B，

1．

2．

3．

4．

5．

7．。

记。

 

(常用的关系） 补充

1．

2．

3．

 

吸收律

若，则

特别注意：

 

德·莫根律（对偶公式）

 

推广：，。

 

例2：P6,在例1中….

其它例子：

 

例3：：设{甲中}，{乙中}，问与各表示什么事件？是否是相等事件？

留为练习

 

例4：一射手向目标射击3发子弹，表示第i次射击打中目标。试用及其运算表示下列事件：

（1）"三发子弹都打中目标"；

（2）"三发子弹都未打中目标"；

（3）"三发子弹至少有一发打中目标"；

（4）"三发子弹恰好有一发打中目标"；

（5）"三发子弹至多有一发打中目标".

留为练习

 

 

§1.3 概率与频率

 

1. 事件的频率及其稳定性

设某试验的样本空间为，为E的一个事件。把试验E重复进行了n次，在这n次试验中，A发生的次数称为A的频数。称为事件A在n次试验中发生的频率，记作:

。

 

频率的基本性质

1. 对任意事件A，有；
2. ，；
3. 若是互不相容的，则，

 

推论：对任一事件A，有。

 

实践证明：当试验次数n很大时，事件A的频率几乎稳定地接近一个常数p。频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的。书上p8—9页例1，2.

 

概率的频率定义

 

定义1.1 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作p。

 

补充：概率的几种度量方法

事件A的概率，记为P(A)，表示该事件发生的可能性大小，是事件的一个非负实值函数，满足某种概率进行代数运算的公理。

 

对概率P(A)有几种不同的度量方法：

前面给出了用频率度量概率的方法，也称为古典概率度量。还是二种度量方法。

 

1. 几何概率度量

 

 

    表示"在区域中随机取一点，而该点落在区域g中"这一事件。

 

例：

 

 

 

 

这时，可以是整个园：测度为面积；也可以是整个园周：测度为长度。

 

1. 主观概率度量

    

对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).

主观概率（信念度）是通过相对似然的概念来运算的。

 

例如：见朱手稿。。。

 

现通过例子说明此方法：

 

例1：事件A"明天下午3点深圳市区有雨"，

求P(A): 即求A的主观概率；

现有一大转盘，标有红色区域，事件B："指针落在红色区域"。

让你选择A发生还是B发生的可能性大，为了迫使你选择，有这样的将励机制，。。。选择对的话，将10万元。。。

 

红色区域

 

 

 

如果开始时，红色区域充满整个园，你当然要选B发生的可能性大，逐步调节红色区域的大小，渐渐缩小，。。。等到选A或B都一样时停止，这时，可以由B的几何概率作为A的主观概率。

 

当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时，。。。

 

例2. 假如你面临以下两种选择：1.如果事件A发生，你将得到少量的报酬R；否则没有报酬。2.参加抽奖，你赢得一份小报酬R的概率为P，但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。

如果你对1，2两种选择没有偏好，那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)

 

 

 

(二) 概率的公理化定义

 

概率的公理化定义

定义1.2 设试验E的样本空间为S，如果对每一个事件A都有一个实数与之对应，且满足下面三条公理：

 

公理1（非负性）：对任一事件A，有；

 

公理2（规范性）：对必然事件S，有；

 

公理3（完全可加性）若可列无穷多个事件互不相容，则，那么称为事件A的概率。

 

概率的性质

(1);

(2)有限可加性: 若互不相容，则;

(3)对事件A,都有;

1. 若,则 ;

‚；

特别的，对任何事件A，都有;

1. 对任何两个事件A,B，都有

;

1. 对任何n个事件,都有

 

 

例10---12为第一版上的例子。

 

例10： A,B是E中二个事件，已知

，，求

解：

 

例11：在某城市的居民中订购报纸的情况是：订购A报的占45%，订购B报的占35%；订购C报的占30%，同时订购A,B的占10%，同时订购A,C的占8%，同时订购B,C的占5%，同时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率（百分率）

（1）{只订购A报纸的}；（2）{至少订一种报纸的}。

 

例12：在所有的两位数（即从10至99）中，

任取一个数，求这个数能被2或者3整除的概率。

 

 

§1.4 等可能概型（古典概型）

一、古典概率

1．古典概型与计算公式

E满足：

① S中基本事件ω个数是有限的n ；

② 每个基本事件发生是等可能的.

称E为古典概型。

E中事件A包含k个基本事件，则A发生的概率为P(A).

 

2．古典概率的基本性质

设E是古典概型，其样本空间为，A，A，A，…，A是E中事件：

①．0≤P（A）≤1

②．P（S）=1，P（）=0

③．若A，A，…，A是互不相容的事件，则有P；

 

推论： P（A）=1- P（）。

 

 

1. P13，将一枚硬币掷三次，。。。。

 

P14---17 例2—7.照书上讲。。。

 

 

以下例4---9为第一版上的例子：

 

例4：E中求任取一球的号码为偶数的概率。

解：设A={所取的球的号码为偶数}={ w₂，w₄，w₆ }

即A中基本事件数k=3，于是P（A）=.

 

例5：（1.10）在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做"有放回抽取"。今有放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。

 

例6：(1.11) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。每次任取一个球，记录其号码后不放回袋中，再任取下一个。这种取法叫做"不放回抽取"。今不放回抽取3个球，求这3个球的号码均为偶数的概率。

 

例7：盒中有a个红球，b个白球（a≥2 , b≥1），

每次从中任取一球，不放回地连取三次，求下列事件的概率：

(1) " 取出的三个球依次为红，白，红色球 "A ；

(2)" 取出的三个球有两个是红色球 "B .

 

例：(1.13) 在一袋中有10 个相同的球，分别标有号码。今任取两个球，求取得的第一个球号码为奇数，第二个球号码为偶数的概率。

 

例8：（1.14）设一批同类型的产品共有件，其中次品有件。今从中任取（假定）件，求次品恰有件的概率

 

例9：一箱内装有同类产品六件（其中4件是正品，二件是次品）。从中每次取一件，连取两次。求下列事件的概率：

（1）" 取到的两件产品的质量是相同的 "A ；

（2）"取到的两件产品至少有一件是正品"B .

 

 

 

 

§1.5条件概率

 

1. 条件概率

例1 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为"到少有一次为H"， 事件B为"两次掷出同一面"。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。

解：样本空间为S={HH,HT,TH,TT},

A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}

于是在A发生的条件下B发生的概率（记为P(B/A)）为：

 

P(B/A)=1/3

注意到：

 

易知：

 

1. 定义：设A,B为E中的二个事件，且，则在事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：.同样若，则。
2. 性质（定理）

   如果,则是概率.

   

3. 计算方法

法一：公式计算法;

法二：直接计算法.

 

不难验证，条件概率P(·/A)符合概率定义中的三个条件：

1.非负性

2.完全性

3.可加性

 

P19

 

例2 P19，。

 

 

 

下面的例11--13为第一版。

 

例11：甲乙二厂同生产一种零件，分放在二个箱内，它们产品的情况如下：

 

	正品	次品	小计
甲厂	50	20	70
乙厂	25	5	30
小计	75	25	100

从中任取一件产品，求下列事件的概率：

（1）"取得的一件产品是甲厂产品"=A;

(2)"取得的一件产品是次品"=B;

(3)"取得的一件产品是甲厂生产的次品";

(4)已知取得的一件产品是甲厂生产的，求它是次品的概率。

 

例12：在标号依此为的15个同类球

中，任取一球。易算出下列事件的概率和条件概率。

(1)取得"标号为偶数"（事件A）的概率；

(2)取得"标号小于6"（事件B）的概率；

(3)取得"标号既为偶数，又小于6"（事件AB）的概率；

(4)若已知"所取球的标号小于6"（即在B已发生的条件下），则"球的标号为偶数"（即A再发生）的概率。

例13：(书例1．20) 设有100件同类型的产品，其中80件一等品，15件二等品，5件次品。从中任取一件，已知"取得的是非次品"（事件B），求"它是一等品"（事件A）的概率。

 

 

(二)概率的乘法公式

定义： 设两个事件,且，由条件概率公式得,若,有称为概率的乘法公式（定理）.

 

例3，4，P21---22;

 

 

例14

—16为第一版：

例14： (书例1．21) 10件同类型产品，其中8件正品，2件次品。今不放回抽取两次，每次取一件，求"两件均为正品"（事件A）的概率。

推广：对n个事件，且,则有。

 

例15： (书例1. 22) 一城市位于甲，乙两河的汇合处，当两河流至少有一泛滥时，该市就会被淹，已知在指定的时间内，甲,乙两河泛滥的概率均为0.01，又当甲河泛滥时引起乙河泛滥的概率为0.5。求在指定的时间内该市被淹的概率。

例： 已知，，，且，。求：； ‚。

例16：十个人抓一张电影票，问每个人抓到电影票的概率与抽签的次序是否有关？

 

 

条件概率与有如下的一般关系

 

(三)全概率公式

 

例17（第一版）：口袋中有16个球，其中白球10个，红球6个。每次取一球，取后不放回，连取两次。求下列事件的概率：

(1)"第一次,第二次取的都是白球";

(2)"第二次才取到白球";

(3)"第二次取到白球".

思考：三个事件有什么不同？

‚第(3)个事件有何特点？难点在哪？怎么解决问题？

 

定理1.1（全概率公式）

若事件组满足：

(1) 互不相容且,,

(2);

则对任何事件A,均有

。 （1.19）

称满足(1)、(2)的事件组为完备事件组。(1.19)式称为全概率公式。

 

重点在于:什么情况下用全概率公式，如何用全概率公式解决实际问题。关键是找出且找出发生的"种可能原因"或"可能的前提条件"或"情况"将其视为。

 

例18(第一版)：（书例1．23） 市场出售的灯泡，甲厂占80%（其中合格率为95%），乙厂占20%（其中合格率为90%）。任买一灯泡，求它是合格品的概率。

 

例19(第一版)：甲、乙、丙三厂生产一批同类产品。甲厂产量是乙厂、丙厂产量之和，而乙厂产量是丙厂产量的二倍。又知甲、乙、丙三厂产品的正品率分别为0.90,0.96,0.84。

1. 求从该批产品中任取一件是正品的概率；
2. 已知取得的一件是正品，问它是哪个厂产品的可能性最大（概率）？

 

 

(四) 贝叶斯公式

定理1.2 若是一完备事件组，则对任意的事件，均有

。

此式称为贝叶斯公式。

 

例6，7，P24页。

 

 

 

例20(第一版)：（书例1．26） 某厂产品96%是（真）合格品。有一验收方法，把（真）合格品判为"合格品"的概率为0.98，把非合格品判为"合格品"的概率为0.05。求此验收方法判为"合格品"的一产品为（真）合格品的概率。

 

例21(第一版)：袋中有n个球，其中白球数未知，假设有i个白球的可能性对所有的i=0,1,…,n都相等。现从袋中任取一球，求在取得的球是白球的条件下，袋中原来有i个白球的概率？(i=0,1,…,n)

 

§1.6 事件的独立性.伯努利概型

一.事件的独立性

1.两个事件A,B的独立性

定义1.3 对任意的事件A,B,若,则称事件A,B是相互独立的。

性质1: 若A与B独立,则与B,A与,与相互独立。

 

2.推广

定义1.4 对任意三个事件A,B,C，若

则称事件A,B,C相互独立，简称A,B,C独立。

 

一般的，对任意n个事件，若

，；

‚，；

…………………

ƒ。

则称事件相互独立，简称独立。

性质2：若相互独立，则

。

 

 

 

 

 

 

例22（第一版）：(书例1．27) 甲，乙，丙三人同时独立向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。求

1. 至少有一人射中目标的概率；
2. 恰有一人射中目标的概率。

例23（第一版）： 袋中装有编号为的n个球，有放回地抽r次，求：

(1)1号球不被抽到的概率；

(2)1号球和2号球均被抽到的概率。

 

二．伯努利概型

1. 若试验E只有两个可能结果A和,且,,则称E为伯努利概型。

称A为"成功",为"失败"。

 

1. n重伯努利试验

将伯努利试验E，在相同条件下，独立地重复进行n次，作为一个试验，则这个试验为n重伯努利概型。记为Eⁿ。

注意两点：相同条件下，即每次

相同。

‚各次试验结果是独立的。

 

3. 定理1.3

设E为伯努利试验，且

，则在n重伯努利概型中，事件A恰好发生次的概率为：，。

 

例2---3P27—28.

 

第一章作业：

设计一随机试验E，给该试验的样本空间S，基本事件ω，并给出一至二个事件。

 

习题1,2,17,18,20,26

 

 

 

例24（第一版）：(书例1. 29) 某射手的命中率为0.9，他独立重复向目标射击5次，求恰好命中3次的概率。

 

例25（第一版）.(书例1. 30) 设一批同类型的产品有N件，其中次品有M件。今从中有放回抽取n件，求次品恰有m件的概率。

 

§ 1—5几个例题（第一版）

例：（书例1.33）一袋中装有N-1只黑球和1只白球，每次从袋中随机地摸出一只球并放入一只黑球，这样继续下去，求第k次摸球时摸到黑球的概率。

例：（书例1.34）把7个编号的同类型的球扔进4个编号的盒子中，每个球被扔进任何一个盒子中都是等可能的。求第一个盒子恰有2个球的概率。

例：（书例1.37）甲，乙，丙三人同时独立向一飞机射击，他们设中飞机的概率分别为0.4,0.5,0.7。设若只有一人射中,飞机坠毁的概率为0.2；若恰有两人射中,飞机坠毁的概率为0.6；若三人均射中，飞机必然坠毁。求飞机坠毁的概率。若已知飞机坠毁，求它是恰有二人射中的概率。

 

例：（例1.38）设某型号的高射炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6，现用此型号的炮若干门同时发射一发炮弹，问至少需配置几门高射炮才能以不小于0.99的概率击中来犯的一架敌机？

 

例：（例1.41）甲，乙二人进行棋类比赛。每次比赛没有和棋，甲赢的概率为p，乙赢的概率为q，p+q=1 ,赢者得1分，输者得0分。比赛独立地进行到有一人超过对方2分才结束，多得二分者为胜。求甲，乙获胜的概率各是多少。

 

例：（例1.42）甲，乙二人约定，将一枚匀称的硬币掷两次，若正面至少出现一次，则甲胜；否则乙胜。求甲胜的概率。