5§6 平面直角坐标变换

§6 平面直角坐标变换

一 平移坐标变换

定义：若二平面直角坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}满足i=i′，j=j′，则坐标系{O′；i′，j′}可看成是由{O；i，j}经过平移得到的，称由坐标系{O；i，j}到坐标系{O′；i′，j′}的变换为平移坐标变换。

平移变换公式

设平面上一点M在新系{O′；i′，j′}与旧系{O；i，j}下的坐标分别为

（x′，y′），（x,y），而O′在旧系下的坐标为（a,b），则

xi+yj= = +=ai+bj+x′i′+y′j′

=ai+bj+x′i+y′j=（a+x′）i+（b+y′）j

∴ ——平移坐标变换公式

二 旋转坐标变换：

定义：若二坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}满足O≡O′，另∠（i，j′）=θ

则坐标系{O′；i′，j′}可看成是由坐标系{O；i，j}绕O旋转θ角得到的，称由{O；i，j}到{O′；i′，j′}的变换为旋转坐标变换。

旋转变换公式

由于∠（i，i′）=0，∴∠（i，j′）=+θ

∴i′=cosθi+sinθj，j′=cos（+θ）i+sin（+θ）j=-sinθi+cosθj

∴xi+yj===x′i′+y′j′=x′（cosθi+sinθj）+y′（-sinθi+cosθj）

=（x′cosθ-y′sinθ）i+（x′sinθ+y′cosθ）j

即

用x,y表示x′，y′，有

三 一般坐标变换：

称由坐标系{O；i，j}得坐标系{O′；i′，j′}的变换为一般坐标变换。

注： 一般坐标变换可分两步来完成，首先将坐标系{O；i，j}平移成

{O′；i′，j′}，再将此坐标系绕O′旋转θ=∠（i，i′）角，即得

{O′；i′，j′}。

一般变换公式：

设平面上任一点关于旧系{O；i，j}与新系{O′；i′，j′}的坐标分别为（x,y）

（x′，y′），关于{O′；i，j}的坐标为（x″，y″），而O′在{O；i，j}下的坐标为（a,b），则

而

∴

用x,y表示x′，y′，有

注：上述坐标变换亦可先旋转，再平移而完成。

例：设有二坐标系{O；i，j}和{O′；i′，j′}，且知i′，j′所在直线在坐标系{O；i，j}下的方程为x+y+=0，x+y+=0，试求坐标变换公式。

解:设平面上任一点P在旧系与新系下的坐标分别为（x,y）（x′，y′）

则P到i′所在直线的距离用新坐标表示为

∣y′∣=

从而 y′=±

同理 x′=±

即

注：上式±号的选取应注意到

±=±

如i′所在直线为2x-y+3=0，j′所在直线为x+2y-2=0，则坐标变换公式为

或

四 坐标变换下，二次曲线方程的系数的变化规律：

1 在平移下

设将坐标原点平移O′（，），则平移公式为

则在新系{O′；i，j}≡（x+）²+2（+x′）（+y′）+（+y′）²

+2（x′+）+2（y′+）+=0

若记（x′，y′）≡F（x′+，y′+）

=′x′²+2′x′y′+y′²+2′x′+2′+′，则 ′= ′=++=F1（，）

′= ′=a21++=F2（，）

′= ′=²+2+²+2+2+

=F（，）

可见：在平移变换下，二次曲线方程的

（1）二次项系数不变；

（2）一次项系数变为（，），（，）；

（3）常数项变为F（，）。

从而若取（，）为二次曲线F（x，y）=0的中心，则在新系下，方程中将无一次项。

2 在旋转变换下，设旋转角为θ，则平面上一点在旧系与新系下的坐标（x,y）（x′，y′）间满足

∴二次曲线在新系下的方程为

F′（x′，y′）=F（x′cosθ-y′sinθ，+x′sinθ+y′cosθ）

=（x′cosθ-y′sinθ）²+2（x′cosθ-y′sinθ）（+x′sinθ+y′cosθ）+

（+x′sinθ+y′cosθ）²+2（x′cosθ-y′sinθ）

+2（+x′sinθ+y′cosθ）+ =0

若记F′（x′，y′）≡′x′²+2′x′y′+′y′²+2′x′+2′y′+′ 则

可见，在旋转变换下，二次曲线方程

1）二次项系数一般可变，但新系下方程的二次项系数仅与旧系下方程的二次项系数及旋转角θ有关；

2）一次项系数一般也可边，但新方程中有一次项〈═〉旧方程有一次项；

3）常数项不变。

从的公式表达式可见，若选取α角，使

（

即 ceg2θ=

作旋转变换，则新方程中将不会交叉乘积项。