§7 两矢量的数性积
定义1 对于两个矢量a和b,把它们的模|a|,|b|及它们的夹角q 的余弦的乘积称为矢量和的数量积,记作ab,即
ab=|a||b|cosq .
由此定义和投影的关系可得
ab=|b|Prjb a=|a|Prjab.
数量积的性质:
(1) a·a=|a| 2,记a·a=a 2,则a2=|a| 2.
(2) 对于两个非零矢量 a、b,如果 a·b=0,则 a^b
反之,如果a^b,则a·b=0.
如果认为零矢量与任何矢量都垂直,则a^bÛa·b=0.
定理1 数量积满足下面运算律:
(1)交换律: a·b= b·a
(2)分配律:(a+b)×c=a×c+b×c .
(3)(la)·b= a·(lb)= l(a·b),
(la)·(mb)= lm(a·b),l、m为数.
证 (1)由定义知显然.
(2)的证明:
因为当c=0时, 上式显然成立;
当c¹0时, 有
(a+b)×c=|c|Prjc(a+b)
=|c|(Prjca+Prjcb)
=|c|Prjca+|c|Prjcb
=a×c+b×c .
(3)可类似地证明.
例1 试用矢量证明三角形的余弦定理.
证 设在ΔABC中,∠BCA=,||=a, ||=b, ||=c, 要证
c 2=a 2+b 2-2 a b cos .
记=a,=b,=c,则有 c=a-b, 从而
|c|2=c × c=(a-b)(a-b)=a2-2×ab+b2=|a|2+|b|2-2|a||b|cos(a,^b),
即 c 2=a 2+b 2-2 a b cos .
数量积的坐标表示:
定理2 设a={ax, ay, az },b={bx, by, bz }, 则
a·b=axbx+ayby+azbz .
证 a·b=( ax i+ ay j + az k)·(bx i + by j + bz k)
=ax bx i·i + ax by i·j + ax bz i·k
+ay bx j ·i + ay by j ·j + ay bz j·k
+az bx k·i + az by k·j + az bz k·k
= ax bx + ay by + az bz .
定理3 设a={},则矢量a的模
|a|=.
证 由定理1.7.2知
|a|2=a2=,
所以 |a|=.
两矢量夹角的余弦的坐标表示:
定理4 设q=(a, ^ b), 则当a¹0、b¹0时,有
.
证 因为 a·b=|a||b|cosq ,所以
.
例2 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求ÐAMB .
解 从M到A的向量记为a, 从M到B的向量记为b, 则ÐAMB 就是向量a与b的夹角.
a={1,1,0},b={1,0,1}.
因为
a×b=1´1+1´0+0´1=1,
,
.
所以 .
从而 .
矢量的方向角和方向余弦:矢量与坐标轴所成的角叫做矢量的方向角,方向角的余弦叫矢量的方向余弦.
定理5 设a={},则a的方向余弦为
cos=,
cos,
cos;
且 ,
其中分别是矢量a与x轴,y轴,z轴的夹角.
证 因为 ai=|a|cos且ai=,
所以 |a|cos=,
从而 cos=.
同理可证 cos
cos
且显然