第九章点的复合运动

第九章点的复合运动

教学目标

1 深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义，运动的合成与分解以及运动相对性的概念。

2 对具体问题能恰当地选择动点、动系和定系，进行运动轨迹、速度和加速度分析。并能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。

3 会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，弄懂牵连运动为转动时的加速度合成定理。并能熟练地应用上述三个定理。

本章重点

运动的合成与分解，速度合成定理及加速度合成定理及其应用。

本章难点

牵连点、牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念，动点、动系的选择和相对运动的分析。

教学过程

1. 三种运动的概念

   

   动点：M

   动系：车

   静系：地面（地球）

   绝对运动：动点相对于静系的运动。运动主体是动点。

   相对运动：动点相对于动系的运动。

   牵连运动：动系相对于静系的运动。运动主体是动系。

   例1当自行车沿直线行驶时，以地面为静系，车架为动系，观察脚蹬的运动。

   

   例2 当直升飞机直上天空时，

   以地面为静系，飞机机身为动系，观察直升飞机螺旋桨

   上叶片端点上的一点的运动。

2. 速度合成定理
   1. 三种速度的概念

      绝对速度：动点相对于静系的速度。

      相对速度：动点相对于动系的速度。

      牵连速度：牵连点相对于静系的速度。

      牵连点：某瞬时动系上与动点相重合的那一点称为动

      点的牵连点。

      牵连点举例之一：

      狗熊在车上行走。

      牵连点举例之二：

      蜗牛沿转动杆爬行。

   2. 速度合成定理

   绝对位移

   相对位移

   牵连位移：

   

   

   1. 在凸轮顶杆机构中已知凸轮以速度直线平动，已知半径为，求图示角时顶杆AB的速度。

   

解：

1 选动点、动系：动点A，动系凸轮。

2 三种运动分析：

绝对运动：直线

相对运动：圆周运动

牵连运动：直线平动

3 速度分析：

4 求解：

思考：如选AB杆为动系，凸轮上的点为动点，怎样分析？

例2 曲柄摇杆机构，设，以匀角速度转动图中。求时，摇杆的角速度。

解：1 选动点、动系：动点，动系。

2 三种运动分析：

绝对运动：圆周运动直线

相对运动：直线

牵连运动：圆周运动

3 速度分析：

4 求解：

思考：如选杆为动系，上的点为动点，怎样分析？

例3：半径为R，偏心距OC=的轮C以绕转轴O匀速转动，从而推动轴转动当OC在同一铅直线上时=时，试求该杆的角速度。

解：分析：设、分别为轮与杆的接触点。选为动点，为动系，相对运动为未知曲线（让机构运动画出其相对轨迹）；选点为动点，轮C为动系相对运动也为未知曲线（让机构运动画出相对轨迹）

1. 选C点为到点,动系为杆
2. 分析运动：绝对运动：以O为圆心OC长为半径的圆。

牵连运动：定轴转动

相对运动：平行于直线

1. 速度分析：

方向	OC		//
大小			未知

1. 求解：

（思考题：为什么例1、例2能选接触点为动点进行分析，而本题不能选接触点为动点进行分析？）

例4、直线AB以大小为的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动，如图所示。设两直线间的夹角为，试求两直线的交点M的速度。

解：在M点设一小环，套着两杆，两杆交点的速度，即为小环M的速度。

1、动点：M 动系：AB

2、

3、有3 个未知量，求不出。

2、动点：M动系CD

（B）

联立式（A）和（B）有

例5、车A沿半径R=150cm的圆弧道路以速度km/h行驶，车B沿直线道路以速度 km/h匀速行驶，运动至图9.30所示位置时A、B两车相距100m。试求（1）A车相对B车的速度。（2）B车相对A车的速度。

解：（1）求A车相对B车的速度

选动点A车动系B车

牵连运动：随B车平动

绝对运动：圆运动

相对运动：未知

，

其大小为

与轴夹角

（2）求B车相对A车的速度选动点B车，动系A车

牵连运动：绕圆弧道路的圆心O的定轴转动，转动角速度

绝对运动：直线运动；

相对运动：未知；

其中，m/s

其大小

与轴夹角

如图9.3c所示

1. 加速度合成定理

1、速度的概念

绝对加速度：动点相对静系的加速度

牵连加速度：牵连点相对静系的加速度

相对加速度：动点相对动系的加速度

、的坐标表示：

相对运动方程：

2、运动为平动时加速度合成定理

在图9.4中设为平动坐标系，则、、的大小，方向均不变，是常矢量 （a）

在静系中，将式（a）对时间t求一阶导数，有：

，，

3、牵连运动为转动时合成定理

为方便，可将动系的坐标原点选在转轴上，即在图9.4中设点不动，此时牵连速度、牵连加速度可表示为：

在静系中，将式(b)对时间t求一阶导数，有：

在图中， 是常矢量，有===+

由泊桑公式：

式（c）的最后三项可表示为

将式(d)(e)代入式（c）,有：

其中

令称为哥氏加速度

所以牵连运动为转动时的加速度合成定理为

4、的计算及产生的原因分析：

参看图=

当时有 =时。

产生的原因分析：

设动点M沿直杆OA的速度匀速运动，而杆又以匀速转动，如图所示。

在静系中观察，的方向发生了改变，其中变化率

方向垂直与OA杆，

产生原因：由于牵连运动改变了 的方向所致。当M点运动到位置的时候时，牵连速度的大小发生了变化，其变化率为

方向垂直于OA杆

产生原因：由于相对运动改变了牵连点，改变了牵连点，牵连速度的大小而所致。

总之是由于牵连运动和相对运动的相互影响而造成的。

用说明地球上的一些自然现象。

例如：在北半球，沿经线流动的江河，若顺着河水流动的方向看，河的左半岸被冲刷得较为厉害。这时因为：选河水为动点，地球为动系，地心系（地球中心为坐标原点，三个坐标轴指向三颗恒星）为静系。若设河水向北流，如图9。7

则河水的哥氏加速度指向左侧（如图），有动力学知，河的右岸对水作用了向

左的力。根据作用于反作用定律，河水对右岸必作用反力，因而右岸被左岸冲刷厉

害。在北纬角位置。河水的哥氏加速度为（地球

的角速度）由此可知：沿经线运动时=0（赤道上）=0， 北极（南极）

例6曲线OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平动，如图9.8所示。铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形的铅直槽DE内滑动。设曲柄的转动规律为，OA=r，试求t=1s时，杆BC的加速度。

解：1、动点A动系BC杆。

分析运动：

绝对运动：A点作圆运动，OA杆作定轴转动。

，

牵连运动水平直线平动

相对运动沿DE直线运动

2、加速度分析

例7：（在例1中的已知条件中，若已知凸轮的加速度为方向如图9.9所示，试求AB杆的加速度

解：在例1中已选动点A，动系凸轮可求得：

加速度分析：

例8：在例2中求图示瞬时杆的角速度

解：在例2中选动点A，动系杆则动系为转动，相对运动为直线求得杆角速度和相对速度

加速度分析： （方向如图9.10）

其中，

，

例9：空气压缩机的工作轮以角速度绕垂直于图面的O轴匀速转动，空气以相对速度沿弯曲的叶片匀速流动，如图9.11所示，如曲线AB在C点的曲率半径为9，通过点C的法线与半径间所夹的角为，CO=r，求气体微团在点C的绝对加速度

 

解：1、选动点：微团气体C，动系：工作轮

2、分析运动：

牵连运动：定轴转动：，

相对运动：匀速曲线运动：，

绝对运动：未知。

3、加速度分析：