数论小节

做个备忘录把……

二项式反演：

令\(f_i\)表示至少选择\(i\)个，\(g_i\)表示敲好选择\(i\)个

\(f_i=\sum_{j=0}^i \dbinom{n}{j}*g_j\)

\(g_i=\sum_{j=0}^{i}(-1)^{i-j}\dbinom {n}{j}f_j\)

范德蒙德卷积:

\(\dbinom{n}{k}=\sum_{i=0}^k\dbinom{m}{i}*\dbinom{k-i}{n-m}\)

组合数无名公式：

\(\dbinom{m}{i}*\dbinom{i}{j}=\dbinom{m}{j}*\dbinom{m-j}{i-j}\)

中国剩余定理：

\(M_i=lcm/m_i, x_i=M_i^{-1}(mod\ m_i)\)

\(Ans=\sum_{i=1}^n x_i*a_i*M_i(mod\ lcm)\)

第二类斯特林数：

\(S(n, m)=\dfrac{1}{m!}*\sum_{k=0}^m(-1)^k*\dbinom{m}{l}*(m-k)^n\)

\(n^k=\sum_{i=0}^kS(k, i) * i! *\dbinom{n}{i}\)

康拓展开：

\(\sum_{i=1}^n(s_i-\sum_{j=1}^{i-1}[s_j<s_i])*(n-i+1)!\)

拉格朗日插值：

\(f(k)=\sum_{i=0}^ny_i* \prod_{i!=j}\dfrac{k-x_j}{x_i-x_j}\)

多重集合排列

设S是多重集合，他有k种不同类型的对象，每一种类型的有限重复数是\(n1，n2，n3，…nk\)。设S的大小为\(n=n1+n2+n3+…nk\)。则S的n排列数目为\(\dfrac{n!}{n1!n2!n3!…nk!}\)