【笔记】线代第二章——线性空间

线性空间

向量空间

定义：
设$v$为$n$维向量的集合，如果集合$v$非空，且集合$v$对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合$v$为向量空间

向量组的秩

线性组合与线性表示

向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_m $线性表示的充分必要条件是：
$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_mx_m=\beta$有解

线性相关及线性无关

性质

1. 包含零向量的任何向量组线性相关；
2. 有两个向量相等的向量组线性相关；
3. 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；
4. 两个向量对应分量成比例，线性相关
5. 基本向量组或单位坐标向量组线性无关

定理

1. $n$维向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$线性相关，若$n=m$则$|A|=0$
2. $n$维向量组$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$线性无关，若$n=m$则$|A|\neq0$
3. 部分相关则整体相关
4. 整体无关则部分无关
5. n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关
6. n维向量组线性相关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性相关
7. 向量组 $A(\alpha_1,\cdots,\alpha_m)$线性无关,而向量组$B(\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\beta)$线性相关,则向量$\beta$必能由向量组$A$线性表示且表示式唯一
8. $m>n$时，$m$个$n$维向量必线性相关.
9. 阶梯形向量必然线性无关

极大无关组

1. 只含零向量的向量组没有极大无关组.
2. 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
3. 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示
4. 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但包含相同个数的向量
5. 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

向量组的秩

定义

向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩

性质

1. 零向量组的秩为0
2. 设向量组$A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$的秩为$r$,则：
   $r<m$时，该向量组线性相关
   $r=m$时，该向量组线性无关
3. 如向量组$A(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$可由向量组$B(\beta_1,\cdots,\beta_t)$线性表示，则$R(A)≤R(B)$
4. 矩阵的行秩＝矩阵的列秩
   注意：
   两个有相同的秩的向量组不一定等价。
   两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个
   线性表示，则这两个向量组等价。

基与维数

1. 只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为$0$
2. 如果把向量空间看作向量组，可知， V的基就是向量组的极大无关组， V的维数就是向量组的秩
3. 向量空间的基不唯一

基的变换

$x_1,x_2,\cdots,x_n$与$y_1,y_2,\cdots,y_n$是$n$维线性空间$V$的两组不同基。
则由基的定义(极大线性无关组)，有
$$
\begin{cases}
y_1=p_{11}x_1+p_{21}x_2+\cdots+p_{n1}x_n \\
y_2=p_{12}x_1+p_{22}x_2+\cdots+p_{n2}x_n \\
\cdots\cdots \\
y_n=p_{1n}x_1+p_{2n}x_2+\cdots+p_{nn}x_n
\end{cases}
$$
记作：$(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
其中$P=(p_{ij})_{n\times n}$
称$P$是由基$x_1,x_2,…,x_n$到基$y_1,y_2,\cdots,y_n$的过渡矩阵


坐标变换公式
$$X=PY \Rightarrow Y=P^{-1}X$$