【图形学入门】Phong 光照模型中反射方向公式是怎么来的？

前言

最近在学习 Phong 光照模型时，遇到了一个看起来很“凭空出现”的公式：

\[R = 2(N \cdot L)N - L \]

它用来计算镜面反射方向。

一开始看到这个公式，感觉有点突兀：

• 为什么是 \(2(N \cdot L)N - L\)？
• 这个 2 是哪里来的？
• 点积 \(N \cdot L\) 在里面起什么作用？

后来把它从向量分解的角度拆开之后，瞬间就清楚了。

这篇博客记录一下我的理解。

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1. Phong 中的几个方向

在 Phong 光照模型中，计算高光时会涉及几个方向：

• (N)：表面法线方向
• (L)：从当前点指向光源的方向
• (R)：光线关于法线反射后的方向
• (V)：从当前点指向观察者，也就是摄像机的方向

高光是否明显，主要看：

\[R \cdot V \]

也就是说：

反射方向 (R) 和观察方向 (V) 越接近，看到的高光越强。

所以问题就变成了：

已知法线方向 (N) 和光照方向 (L)，怎么求反射方向 (R)？

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2. 先不要背公式，先看反射到底发生了什么

镜面反射的本质是：

入射方向和反射方向关于法线对称。

也就是说，法线 (N) 像一面“镜子的中轴线”。

可以粗略理解成：

        L
       /
      /
     /
    / 
---P---------
    |
    | N
    |

其中 (P) 是当前表面上的点。

我们要求的是 (L) 关于 (N) 对称后的方向，也就是 (R)。

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3. 关键思想：把 (L) 拆成两部分

一个向量 (L) 可以拆成两部分：

\[L = L_{\parallel} + L_{\perp} \]

其中：

• (L_{\parallel})：沿着法线 (N) 的分量
• (L_{\perp})：垂直于法线 (N) 的分量

换句话说，就是把 (L) 拆成：

L = 朝着法线方向的部分 + 横向偏出去的部分

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4. 沿着法线的部分怎么求？

如果 (N) 是单位向量，也就是：

\[|N| = 1 \]

那么 (L) 在 (N) 上的投影就是：

\[L_{\parallel} = (N \cdot L)N \]

这里的 (N \cdot L) 是点积，它表示：

(L) 在 (N) 方向上的长度。

然后再乘上方向 (N)，就得到了完整的投影向量。

所以：

\[L_{\parallel} = (N \cdot L)N \]

剩下的垂直分量就是：

\[L_{\perp} = L - L_{\parallel} \]

也就是：

\[L_{\perp} = L - (N \cdot L)N \]

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5. 反射时，哪部分变，哪部分不变？

这是整个公式最核心的地方。

当 (L) 关于法线 (N) 反射时：

• 沿着法线方向的分量不变
• 垂直于法线方向的分量反向

也就是说：

\[R = L_{\parallel} - L_{\perp} \]

因为原来：

\[L = L_{\parallel} + L_{\perp} \]

反射后，把横向偏出去的部分翻到另一边：

\[R = L_{\parallel} - L_{\perp} \]

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6. 开始代入推导

因为：

\[L_{\perp} = L - L_{\parallel} \]

所以：

\[R = L_{\parallel} - L_{\perp} \]

代入：

\[R = L_{\parallel} - (L - L_{\parallel}) \]

展开：

\[R = L_{\parallel} - L + L_{\parallel} \]

合并：

\[R = 2L_{\parallel} - L \]

又因为：

\[L_{\parallel} = (N \cdot L)N \]

所以：

\[R = 2(N \cdot L)N - L \]

最终得到：

\[\boxed{R = 2(N \cdot L)N - L} \]

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7. 为什么公式里面有一个 2？

这个 2 不是凭空来的。

它来自这里：

\[R = L_{\parallel} - (L - L_{\parallel}) \]

展开后：

\[R = 2L_{\parallel} - L \]

也就是说：

反射方向可以理解为：先找到 (L) 在法线方向上的投影，然后从这个投影位置“翻过去”。

原来的 (L) 在法线的一侧，反射后的 (R) 在另一侧，所以需要跨过法线方向的投影点。

这个“跨过去”的过程，就导致了 (2L_{\parallel})。

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8. 用一个二维例子验证一下

假设法线方向是竖直向上：

\[N = (0, 1) \]

假设光照方向 (L) 是右上方 45 度：

\[L = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

先计算点积：

\[N \cdot L = 0 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

然后计算：

\[2(N \cdot L)N = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times (0, 1) \]

最后：

\[R = 2(N \cdot L)N - L \]

代入：

\[R =(0, \sqrt{2})-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

得到：

\[R = \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \]

结果是左上方 45 度。

这正好符合直觉：

原来的 (L) 指向右上方，关于竖直法线反射后，应该指向左上方。

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9. 一个容易踩坑的地方：方向定义不同，公式可能长得不一样

有些图形学 API 或教材里，反射公式可能写成：

\[R = I - 2(N \cdot I)N \]

这和本文的公式看起来不一样。

原因不是数学矛盾，而是方向定义不同。

本文使用的是：

• (L)：从表面点指向光源

所以反射方向是：

\[R = 2(N \cdot L)N - L \]

而很多 API 中使用的是：

• (I)：入射方向，也就是光线真正打向表面的方向

此时 (I) 和 (L) 通常相反：

\[I = -L \]

所以公式会变成：

\[R = I - 2(N \cdot I)N \]

本质上是同一个东西，只是向量方向的约定不同。

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10. 总结

Phong 光照模型里的反射方向公式：

\[R = 2(N \cdot L)N - L \]

不是硬背出来的，而是从向量分解自然推出来的。

核心逻辑是：

\[L = L_{\parallel} + L_{\perp} \]

其中：

\[L_{\parallel} = (N \cdot L)N \]

反射时：

• 沿法线方向的分量不变
• 垂直法线方向的分量反向

所以：

\[R = L_{\parallel} - L_{\perp} \]

最后推出：

\[R = 2(N \cdot L)N - L \]

一句话理解：

先把光照方向 (L) 拆成“沿法线方向”和“偏离法线方向”两部分，然后把偏离法线的那部分翻到另一边。

这个公式本质上就是一次关于法线的向量镜面对称。