01背包+多状态dp

01背包+多状态dp

前置知识

dp的四步法（绝对不是水字数）：

1. 确定状态
2. 确定答案
3. 确定状态转移方程
4. 确定初始状态和边界

P7074 [CSP-J2020] 方格取数

题目中所给出的状态是这样的（图一）：

但是这样就会导致一个问题， \(i\) 值会访问空的地方，所以这里会有两种方案：

1. 左上角走到右下角（最短路线）
2. 三角形取数（题目所给方式）

本体上下之间其实并不存在后效性，因为不能重复经过一个点。

认定一个方向之后只能走原本方向或者右边每一列，行和行之间存在后效性的因为第 \((i,j)\) 的答案可能从第 \(i-1\) 行，第 \(j\) 列到达或者从第 \(i+1\) 行，第 \(j\) 列到达，所以本题解题思路就来了。

dp四步法：

1. 确定状态

   dp[i][j]表示 \((i,j)\) 能或得到的最大数字之和。

2. 确定答案

   max{dp[i][1]~dp[i][m]}中的最大值。

3. 确定状态转移方程

   dp[i][j][0] = max(dp[i-1][j][0], max(dp[i][j-1][1], dp[i][j-1][0])) + a[i][j];
   dp[i][j][1] = max(dp[i+1][j][1], max(dp[i][j-1][1], dp[i][j-1][0])) + a[i][j]; 
   

   注意：

   ​ 以上两个的方程要列不同的for循环，反正我又不给代码。

   拓展知识我就不做了，因为我善。

4. 确定初始状态和边界

   把dp数组全部都复制为LONGLONG_MIN。

   第一列要初始化，所以还要跑一边循环。

D1238 【例9.11】01背包问题暨01背包问题讲解

当我们开始学这道题的时候，就代表我们开始学01背包了。

但是为了水字数巩固知识点，我先把01背包给讲一下。

01背包理论知识

从名字上就很好理解， \(0\) 代表不选， \(1\) 代表选。

同时对应着dfs中的选和不选问题（驭澄音）。

这种问题一般有3种写法：

1. 第一种就是最简单并且本人最会的暴搜，只要数据不大，优势在我。
2. 第二种就是本人最不会的贪心。这里的贪心可贪多个值，比何坤还能贪。
3. （第三种写法在后面）。

接下来我们要用贪心的角度想一下这道题：

1. 按照重量贪。

   容量10

   	物品1	物品2	物品三
   重量	10	6	4
   价值	1	0.1	0.1

   重量贪：物品2+物品3=0.1+0.1=2

   正常：物品1=10

   直接过

2. 按照价格贪。

   容量10

   	物品1	物品2	物品三
   重量	10	6	4
   价值	10	8	4

   价格贪：物品1=10

   正常：物品2+物品3=8+4=12

   也过

3. 按照性价比贪。

   容量10

   	物品1	物品2	物品三
   重量	8	6	4
   价值	10	7	4
   性价比	1.25	0.86	1

   性价比贪：物品1=10

   正常：物品2+物品3=7+4=11

   也过

看得出来，贪心的每一个方法都有hack。

不藏了，我们现在直接拿出我们的dp吧。

温馨提示：

​ 01背包属于多状态dp。

​ 时间复杂度： \(O(n*m)\)

​ 空间复杂度： \(O(n*m)\)

解题

这题给定一个容量为 \(m\) 的背包，现在有 \(n\) 件物品，每件物品只有一个，问从中任意挑选装入到背包
之中可以获取的最大价值。

1. 确定状态：

   dp[i][j]代表着前面 \(i\) 件商品，任意挑选装入到背包容量为 \(j\) 的背包之中可以获取到的最大价值。

   \(j\) 是背包的容量，背包可以不装满。

2. 确定答案

   dp[n][m]
   max{dp[1][m]~dp[i][m]}
   以上两种都是对的。
   这个题目的答案存在单调性，物品数量越多，挑选的自由度越高，答案是非下降的
   

3. 确定状态转移方程

   第一种

   ​ 第i件物品准备装入

   ​ 分两种情况

   ​ 装得下:dp[i-1][j-w[i]]+val[i]

   ​ 装不下:dp[i-1][j]

   第二种

   ​ 第i件物品不准备装入

   ​ dp[i - 1][j]

   合并之后发现，只有装得下和装不下两种情况。

   所以代码如下：

   dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + val[i]); //装入第i件物品和不装入第i件物品做选择
   ff(i, 1, n)
   	ff(j, 0, w)
   	if (j >= w[i]) //装得下，所以有两种选择
   		dp[i][j] = max(dp[i - 1][jl, dp[i - 1][j - w[i]] + val{i]) ;
   	else
   		dp[i][j] = dp[i - 1][j]; //装不下不装入
   

4. 确定初始状态和边界

   dp[0][0]=0;//不选任何物品放入到容量为0的背包之中，答案就是0 (真实存在)
   dp[i][0]=0;//选择前i件物品放入到容量为0的背包之中，答案就是0(真实存在)
   dp[0][j]=0; //选择前0件物品放入到背包容量为j的背包之中，答案是0(实际不存在的)
   

D1253 Charm Bracelet

这题就是D1238 【例9.11】01背包问题的数据加强版。

这题只需要把dp改成一维数组，然后在用个pre数组存储上一次的答案按就可以了，没啥好说的。

P1802 5 倍经验日

这题也跟D1253 Charm Bracelet一样，都是拿这个D1238 【例9.11】01背包问题模板题改的。

这题主要是long long的问题和失败也加分，其他的也都没有了。

结（24/12/15/0:15）