多状态DP

前置知识

dp的四步法（水字数）：

1. 确定状态
2. 确定答案
3. 确定状态转移方程
4. 确定初始状态和边界

P1644 跳马问题

一共就上面的四个方向，并且并没有单调性，所以for循环时先设行，再设列。

知识点：

​ 如果dp中并没有单调性，进行状态转移方程的for循环要先跑列，再跑行。

1. 确定状态：dp[i][j] 直接代表 \(0,0\) 可以直接到达 \(i,j\) 的方案数。

2. 确定答案：dp[n][m]。

3. 确定状态转移方程：dp[i][j] = dp[i+2][j-1] + dp[i+1][j-2] + dp[i - 1][j -2] + dp[i -2][j- 1]

4. 确定初始状态和边界：

   dp[0][0]=1 //0,0开始的方案数是1
   dp[i][j]=0;//不存在方案是0
   

D1320 【例3.4】昆虫繁殖

这道题的思路就比上一道题的模拟dfs的过程完全不相同，因为这里要搞两个值，并且是相互依赖的。

两种形态：幼虫和成虫。

依赖关系：幼虫可以直接转变为成虫，成虫可以继续繁殖有幼虫。

随着月份的增加，整个过程一直在递增，后面的状态不会影响前面的状态

温馨提示：

​ dp真正有效果的时候，是问题中包含重叠子问题

​ 比如最熟悉的斐波那契数列，直接递归（如dfs）存在很多重复情况，dp本质是空间换时间，记忆化

1. 确定状态：baby[i] 表示在第 \(i\) 个月幼虫的数量，dp[i] 表示在第 \(i\) 个月成虫的数量。

2. 确定答案：dp[z] 。

3. 确定状态转移方程。

   baby[i] = dp[i - x] * y;   // 得到新生的幼虫数量 每队幼虫只使用一次，保证答案唯一
   dp[i] = dp[i - 1] + baby[i - 2]; // 得到成虫的数量
   

4. 确定初始值和边界：

   dp[1-x] = 1;
   baby[0] = 0; // 初始条件
   

P7158 「dWoi R1」Password of Shady

这道题有两种写法：

大暴力（30pts）

直接求出范围，然后for循环一个一个枚举和判断，直接求出答案。

dp（100pts）

实际上这道题给出的 \(k\) 没有用，因为 \(k\) 的值不会为0，所以所有值最后求出来的结果都是一样的。

这道题的题目隐藏了偶数的“反义词”——奇数，在求值中奇数和偶数是互补的

1. 确定状态

   dp[0][i] //表示有i位数字有偶数个k的总情况数量
   dp[1][i] //表示有i位数字有奇数个k的总情况数量
   或者
   dp1[i] //表示有i位数字有偶数个k的总情况数量
   dp2[i] //表示有i位数字有奇数个k的总情况数量
   

2. 确定答案：dp1[i]或dp[0][i]，输出偶数的答案

3. 确定状态转移方程

   dp[0][i] = dp[0][i - 1] * 9 + dp[1][i - 1]
   dp[1][i] = dp[1][i - 1] * 9 + dp[0][i - 1]
   

4. 确定初始值和边界情况

   dp[0][1] = 1;
   dp[1][1] = 8;// 因为不存在前导0
   

P8395 [CCC2022 S1] Good Fours and Good Fives

这个就是数字拆分的模板，只有两个数字，4和5。

这道题还有一个加强版，P1806 跑步，这个题就是数字设定范围，问整个范围内的方案数。

本题不能直接dp[i] = dp[i - 4] + dp[i - 5]，会有重复，如下图：

1. 确定状态

   按照从小到大的顺序构建

   dp1[i]//表示以4结尾的方案数
   dp2[i]//表示以5结尾的方案数
   

2. 确定答案：dp1[n]+dp2[n]

3. 确定状态转移方程

   dp1[i] = dp1[i - 4];
   dp2[i] = dpl[i - 4] + dp2[i - 5];
   

4. 确定初始值和边界情况

   dp1[4]= 1;
   dp2[5] = 1;
   

结（24/12/8/0:14）