埃蒙的时空航道

埃蒙的时空航道

题目链接：http://dutacm.club:7217/codesheaven/problem.php?id=1082

题目大意：有$n$个星球，每个星球有$p_i$个军队，$x$星球上的军队最多可迁移不超过$c$个军队到$y$星球上（$x \leq y$）.现已知一段时间后各个星球会遇到$s_i$个敌人袭击，问最多能干掉多少敌人.

网络流+优先队列优化dp

翻了入门经典好好看了发网络流，比网上参差不齐的blog好太多了= =，也是总算明白了.

最大流最小割定理：

若将所有顶点分成两个点集$S$和$T$，其中源点$s$在$S$中，汇点$t$在$T$中，那么$S$就被称为点割集.

如果将"起点在$S$中，终点在$T$中"的所有有向边删除，则不存在一条从源点$s$到汇点$t$的路径，将这样一组边的集合称为一个$s-t$割，它的容量定义为$c(S,T)=\sum_{u \in S,v \in T}c(u,v)$，称为割值.

 对于任意的$s-t$流$f$和任意$s-t$割$(S,T)$，有$|f| \leqslant c(S,T)$，特别地，最小割等于最大流.

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根据题意，很自然可以构造网络流模型：建立一个虚源点，向每个星球连一条容量为$p_i$的有向边，每个编号较小的星球向编号较大的星球连一条容量为$c$的有向边，每个星球向虚汇点连一条容量为$s_i$的有向边.最大流复杂度为$O(n \times E^2)$，显然不合适，转向求最小割.因此题网络较为规则，最小割可用DP求解.

定义状态$dp[i][j]$为前$i$个点构成的网络里，点割集包含$j$个点的最小割.则状态转移方程为：

$dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1]+s[i],dp[i-1][j]+p[i]+j \times c)$.

复杂度为$O(n^2)$，仍不足以通过此题.

注意到，设$a_t \notin S$，$S'=\{a_i|a_i \in S$且$i \leq t\}$，$|S|=k$，$|S'|=x$，则此时割值为$A=F+p_i+cx$.

当$a_t$被加入到$S$中时，割值变化为$B=F+s_i+c[n-i-(k-x)]$.于是当割集加入一个节点$a_t$，割值会增加$B-A=s_i-p_i+c(n-i-k)=s_i-p_i+c(n-i)-ck$.

令$w_i=s_i-p_i+c(n-i)$，每次加入使$w_i$最小的点到点割集中，所得的割值一定最小.

故可以用优先队列维护$w_i$的最小值，使得复杂度降为$O(nlgn)$.

代码如下：

#include <iostream>
#include <queue>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,c,p[N],s[N],temp,ans;
priority_queue<ll>q;
int main(void){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>p[i],temp+=p[i],ans=temp;
    for(int i=1;i<=n;++i)cin>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)q.push(-(s[i]-p[i]+(n-i)*c));
    for(int i=0;i<n;++i){
        ll t=q.top();q.pop();
        temp-=t+i*c;
        ans=min(ans,temp);
    }
    cout<<ans<<"\n";
}