闲话 2025.8.14-级数展开

进行一个级数展开的学

\(Bernuli\) 多项式与 \(Bernuli\) 数

在本文中用 \(B_n\) 表示 \(Bernuli\) 数，用 \(\varphi_k(x)\) 表示 \(Bernuli\) 数的生成函数即 \(Bernuli\) 多项式

\(Bernuli\) 数的函数法表示

\[\begin{equation} \frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum^{\infty}_{i=n}\frac{t^n}{n!}\varphi_n(x) \end{equation} \]

很显而易见的发现，我们的函数式表达而并非很函数，用这种做法没有办法很快的求 \(Bernuli\) 数

\(Bernuli\) 数的代数法表达

来进行一个和式的推，以下证明部分引用自 知乎 \(HappyWang\).

Step1,代入 \(x=0\) 到公式 \((1)\)

\[\begin{equation} \frac{t}{e^t-1}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{t^k}{k!}\varphi_k(0) \end{equation} \]

Step2,求 \(e^{xt}\) 的麦克劳林级数

\[\begin{equation} e^{xt}=1+tx+\frac{t^2x^2}{2!}+\dots+\frac{t^nx^n}{n!}=\sum^{\infty}_{i=0}\frac{t^ix^i}{i!} \end{equation} \]

Step3,将 \((2)\) 与 \((3)\) 相乘

\[\begin{equation} \frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{t^k}{k!}\varphi_k(0)\sum^{\infty}_{i=0}\frac{t^ix^i}{i!} \end{equation} \]

Step4,化简 \((4)\) 式

Let \(n=k+i\) 化简式子

\[\begin{align} \sum^{\infty}_{k=0}\frac{t^k}{k!}\varphi_k(0)\sum^{\infty}_{i=0}\frac{t^ix^i}{i!} &=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{i=0}\frac{t^{k}}{k!}\varphi_k(0)x^i\frac{t^ix^i}{i!}\notag \\ &=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{i=0}\frac{t^{k+i}}{k!i!}\varphi_k(0)x^i\notag \\ &=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{i=0}\frac{t^n}{k!(n-k)!}\varphi_k(0)x^{n-k}\notag \\ &=\sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{i=0}\binom{n}{k}\frac{t^n}{n!}\varphi_k(0)x^{n-k}\notag \\ &=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{t^n}{n!}\sum^{\infty}_{k=0}\binom{n}{k}\varphi_k(0)x^{n-k} \\ \end{align} \]

至此,一锤定音,尘埃,已然落定

\(Bernuli\) 数的递推表达

\[\left\{ \begin{aligned} & B_0=1 \\ & \sum^{n-1}_{k=0}\frac{1}{k!(n-k)!}B_k=0 (n\geq 2) \end{aligned} \right. \]