曲线曲面积分是高等数学中一个综合性，应用性很强的部分。包含空间解析几何，高重微积分，微分方程及物理应用，知识点冗杂，概念繁多。但我在复习的过程中发现，它们之间在横向与纵向有着惊人的联系，因此，我打破书中的章节，独辟蹊径，以纵向—>横向—>纵向的思路复习,即:数量值函数的曲线积分(一类)—>向量值函数的曲线积分(二类)—>格林公式—>数量值函数的曲面积分(一类)—>向量值函数的曲面积分(二类)—>高斯公式及散度—>斯托克斯公式及旋度等.   
       
        下面我简单介绍我的思路,对其中的细小概念不加以一一解释.数值函数指的是在平面或多维空间内,只考虑其值的大小而不考虑方向的函数,符合这种条件的函数一般用来表示密度或高度,大家都知道在直线上的积分得到是平面的面积,想象一下如果人为的把它横向压缩,那么它的准线就变成一条曲线S,但他的面积是不变的,这样提醒我们曲线上的积分与直线上的积分一定有着某种联系,因此,我们用微元法来使得在曲线上的计算转化为在直线上的计算,把曲线S 分成无数小的段,那么每一小段都可以近似的看成直线段,然后加和,求极限.这种方法同定积分的定义引出是一样的,因为一类曲线积分也是定积分(废话,呵呵).

       那么有关 的一些计算方法,与定积分也没有本质区别,但是需要明确的是,即便在∆s很小时它也不是直等于ds而是近似的等于,他们仍旧是曲线元素同直边元素的关系.只不过在∆s很小时在形式上可以用ds来代替,但是计算的时候仍旧要有”曲”化”直”的概念,因为,定积分的上下限仍旧是∆s的横纵坐标或其横纵坐标参数方程的值而∆s又可以用他的横或纵坐标投影值来表示，例 ，然后每一小部分由∆s近似代替ds再

加和取极限

具体的算法大家可以回顾参数定积分的计算.

        向量值函数曲线的积分在数值函数的基础上又引入了方向的要求,一般都是以变力在曲线上的作功在引出二类曲线积分的概念.这里引入一个空间向量F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+U(x,y,z)k;他表示一个空间有方向的变力.我们把曲线S按微元法分割成n份那么在每一份上作的功为F•e•ds（ｅ为在ds上的单位切向量）；设dr= e•ds，那么dr便是一个定向弧，F与∆s(∆s很小时)在∆s方向的乘积也就F•dr.也许这个地方有点晦涩，我尝试着用另一个角度理解，先看（F•e）•ds。（F•e）是变力F在ds切线方向的投影（参见数量积的定义和向量投影部分）也就确定 F作用的有效方向，那么（F•e）就把各处的有效方向加以确定，然后再乘以ds。就是整个这个被积分表达式F•e•ds的含义。

这里我觉得有必要对这个定向弧元素加以讨论，dr=e(x,y)ds=(cosα•ds,cosβ•ds)

dx= cosα•ds,dy= cosβ•ds;dr=(dx,dy),dx,dy是dr的坐标，是dr在x,y方向的投影而来的，这也是我们计算的基础，对dr的计算转化成对dx,dy的计算，因为他们（dx,dy）完全刻画了dr就像（x,y）在坐标平面刻画一个点是一个道理的。

以上由1，2类曲线的对照学习可以看出思路是如出一辙的，这样对比学习节省时间，条理清晰，容易找出异同点。
    格林公式是算法的一种改进，是通过巧妙的等式变换将，对有界闭区域（单连通）的边界区线的定向积分转变为在其闭区域上的二重积分，这个公式就是通过算术技巧得到的，没有什么需要深刻理解的。而由他引出的平面曲线积分与路径无关的条件确是十分重要的，其公式推导引入全微分的概念，以后我会专门就这个问题进行讨论（过程推荐参考《微积分》下册，同济大学应用数学系P241）。

一类曲面积分的思路同一类曲线积分很相似，只不过是曲线改曲面。

对比一类曲线积分，同样数值函数不考虑方向，那么如果数值函数表示密度那么一类曲线积分求的是线密度，二类曲面积分求的是面密度；如果数值函数表示高度，那么一类曲线积分求的是面积，二类曲面积分求的是体积。在一类曲线积分计算的时候我曾提过”曲”化”直”的概念，这里一类曲面积分同样需要有”曲”化”平”的概念。我们必须找出这个曲面在某个坐标平面的投影面，然后再用微元法，把曲面割成很多小曲面，那么每个小的曲面近似的看成是小平面，那么每个小平面又可以用他在坐标平面上的投影来表示，然后加和取极限（参考上面讲的一类曲线）最后将整个曲面积分转化成某个坐标平面的二重积分。

而二类曲面积分相对来说复杂些，也是我们要深入讨论的；他的概念的引入是从物理意义引出的（物理意义的引入是参考《微积分》下册），设速度V是一个三维空间向量，它是有大小和方向的。假设一稳定，不可压缩的流体的速度是V（为方便我们设密度是1），它与一平面单位法向量俄e的方向成α角

单位时间内通过一面积为A的平面∑的体积(也是质量)为

A•|V|•cosα=A•V•e(参考数量积的定义)

那么（V•e）•A的意义就是通过平面∑指定方向e的流量（流量是单位时间内通过∑并流向∑指定一侧的流体的质量）

那么把（V•e）•A缩小成曲面上被分割的小曲面上的流量改变一下形式变成（V•e）•∆s（当∆s很小时近似看成是ds）那么求和再求极限便是: 
把e•ds看成dS即定向曲面元素。V•dS是单位时间内穿过定向曲面dS的流量

我思考了两种理解这个公式的思路
      1．  重新组合(V•e)•ds;
V投影到法线e方向才是V在曲面ds(当∆s->0可以看成∆s)的有效流向方向.而∆s不一定是坐标平面，很有可能是空间任意平面，又因为曲面是有方向的（导致∆s也有方向, 因此分解到i,j,k方向都有流量）所以面需要投影到xy,xz,yz进行计算。
      2.dS=e•ds=(dxdy,dydz,dxdz)分解成向量表示，再把V分别投影到各个分量面进行计算，或是把(dxdy,dydz,dxdz)投影到V的方向使得曲面与V的方向处处一致，这样就不用考虑方向了，剩下的就是展开计算，就化成第一类曲面积分了。具体算法不再讨论

      高斯公式类似格林公式，只不过它是把有向闭区域对其边界面的定向积分转化成其闭区域内的三重积分，公式也是利用技巧推导。

       而散度，斯托克斯公式，璇度，与物理有着紧密地联系。在这里讨论似乎有点跑题，我会进一步了解这几部分的内容，然后和大家分享我的学习过程。上面的理解部分大多是我个人的理解，肯定有不准确，甚至错误的地方，贴出来的目的只有一个，总结，分享，更正。希望看过此篇的匆匆过客，提出一些见解。也不枉我38度下写出的这篇随笔，好累，好热~~。