P3066 [USACO12DEC]Running Away From the Barn G——树上差分

树上差分好题

题面

给定一颗 \(n\) 个点的有根树，边有边权，节点从 \(1\) 至 \(n\) 编号，\(1\) 号节点是这棵树的根。

再给出一个参数 \(t\)，对于树上的每个节点 \(u\)，请求出 \(u\)的子树中有多少节点满足该节点到 \(u\) 的距离不大于 \(t\)

数据范围

• \(1 \leq n \leq 2 \times 10^5，1 \leq t \leq 10^{18}\)。
• \(1 \leq p_i \lt i，1 \leq w_i \leq 10^{12}\)。

思路

子树，我们会想到什么，树上差分

考虑每个节点的贡献，每个节点对它到一个距离小于的L的最远祖先路径上所有的点都产生1的贡献(包括自己这个点)

那么我们肯定不能暴力跳来找祖先，我们可以用倍增的思想，最多跳\(log_{dep}\)次

于是我们有

for(int i=1;i<=n;i++)
   	for(int j=1;j<=19;j++)
        f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];

然后我们去找符合条件的每个点的祖先，注意我们循环的时候，是保证了这个点也是可以对最远的祖先产生贡献的，那么我们点差分的时候就是对\(val[fa[lca[i]]]--,val[i]++\)，相当于在这条路径上都加了1

最后我们求答案的时候，再\(dfs\)一遍就行了

分步讲解

1.处理倍增数组和祖先数组.一次\(dfs\)求出信息

void dfs1(int x,int father)
{
	f[x][0]=father;	
	fa[x]=father;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=ne[i])
	{
		int j=ver[i];
		if(j==father) continue;
		dist[j]=dist[x]+e[i];
		dfs1(j,x);		
	} 
}

2.找符合条件的最远祖先

int getfa(int x,int st)
{
	for(int i=19;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=0&&(dist[st]-dist[f[x][i]])<=L)
		{
			x=f[x][i];
		}
	}
	return x;
}

3.树上差分

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int top=getfa(i,i);
		val[fa[top]]--;
		val[i]++;
	}

4.统计答案

因为是算子树，所以我们需要先递归到底，然后在回溯的时候，累加答案

int getfa(int x,int st)
{
	for(int i=19;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=0&&(dist[st]-dist[f[x][i]])<=L)
		{
			x=f[x][i];
		}
	}
	return x;
}

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200100;
int f[200055][20];
int ne[N],head[N],ver[N];
long long e[N];
int idx;
long long n,L;
int fa[N];
long long dist[N];
long long val[N];
long long ans[N];
void add(int u,int v,long long w)
{
	ne[idx]=head[u];
	ver[idx]=v;
	e[idx]=w;
	head[u]=idx;
	idx++;
}

void dfs1(int x,int father)
{
	f[x][0]=father;	
	fa[x]=father;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=ne[i])
	{
		int j=ver[i];
		if(j==father) continue;
		dist[j]=dist[x]+e[i];
		dfs1(j,x);		
	} 
}

int getfa(int x,int st)
{
	for(int i=19;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=0&&(dist[st]-dist[f[x][i]])<=L)
		{
			x=f[x][i];
		}
	}
	return x;
}

void dfs2(int x,int father)
{
	ans[x]=val[x];
	for(int i=head[x];i!=-1;i=ne[i])
	{
		int j=ver[i];
		if(j==father) continue;
		dfs2(j,x);
		ans[x]+=ans[j];
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%lld%lld",&n,&L);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int u;
		long long w;
		scanf("%d%lld",&u,&w);
		add(u,i,w);
	}
	dfs1(1,0);
	for(int j=1;j<=n;j++)
		for(int i=1;i<=19;i++)
		{
			f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int top=getfa(i,i);
		val[fa[top]]--;
		val[i]++;
	}
	dfs2(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
	
}