笔记之旋转矩阵Rotation Matrix《机器人学-林沛群》
摘要
名词解释
frame 坐标系
orthogonal 正交
DOF 自由度
commutable 可交换的
功能一
描述一个frame{B}相对于另一个frame{A}的姿态
定义
\[{^A_B}R
=\begin{bmatrix}
&| &| &|\\
&{^A}{\hat X_B}
&{^A}{\hat Y_B}
&{^A}{\hat Z_B}\\
&| &| &|\\
\end{bmatrix}
\]
特性
- \({^A_B}R\)与\({^B_A}R\)，两者互为转置。
证明：
\[\begin{align}
{^A_B}R
&=\begin{bmatrix}
&| &| &|\\
&{^A}{\hat X_B}
&{^A}{\hat Y_B}
&{^A}{\hat Z_B}\\
&| &| &|\\
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
{\hat X_B}\cdot{\hat X_A} &{\hat Y_B}\cdot{\hat X_A} &{\hat Z_B}\cdot{\hat X_A} \\
{\hat X_B}\cdot{\hat Y_A} &{\hat Y_B}\cdot{\hat Y_A} &{\hat Z_B}\cdot{\hat Y_A} \\
{\hat X_B}\cdot{\hat Z_A} &{\hat Y_B}\cdot{\hat Z_A} &{\hat Z_B}\cdot{\hat Z_A} \\
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
- {^B}{\hat X_A}^T - \\
- {^B}{\hat Y_A}^T - \\
- {^B}{\hat Z_A}^T -
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
| &| &|\\
{^B}{\hat X_A}
&{^B}{\hat Y_A}
&{^B}{\hat Z_A}\\
| &| &|\\
\end{bmatrix}^T\\
&={^B_A}R^T
\end{align}
\]
- \({^A_B}R\)的逆矩阵就是\({^B_A}R\)，说明\({^A_B}R\)是3x3 orthogonal matrix，逆矩阵就是原矩阵的转置（隐含的一个结果就是一定有逆矩阵，因为任意矩阵都有矩阵的转置）
证明：
\[\begin{align}
{^A_B}R^T {^A_B}R
&=\begin{bmatrix}
- {^A}{\hat X_B}^T - \\
- {^A}{\hat Y_B}^T - \\
- {^A}{\hat Z_B}^T -
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
| &| &|\\
{^A}{\hat X_B}
&{^A}{\hat Y_B}
&{^A}{\hat Z_B}\\
| &| &|
\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
1 &0 &0\\
0 &1 &0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix}\\
&=I^3
\end{align}
\]
\[{^A_B}R^{-1}={^A_B}R^T
\]
- 每个column都是一个方向向量，隐含的条件为三个column都是单位向量（每个column的三个值的平方和开根号都是1），并且三个column两两互相垂直（两两的内积都是0）。所以，每个column都是单位向量，为3个条件；每个column两两垂直，为3个条件。即，这个矩阵有9个数字，却已经包含6个条件，只剩下三个参数（自由度）可以自由选择（与空间中的刚体具有三个自由度是符合的）。
callback：平面上的刚体只有两个自由度，空间中的刚体有三个自由度。
功能二
将向量P由一个frame{A}的表达转换到另一个和frame{A}仅有相对转动的frame{B}来表达
定义
\[{^A}P={^A_B}R {^B}P
\]
推导
\[{^A}P={^A}P_x \hat X_A+{^A}P_y \hat Y_A+{^A}P_z \hat Z_A
\]
\[{^B}P={^B}P_x \hat X_B+{^B}P_y \hat Y_B+{^B}P_z \hat Z_B
\]
\[{^A}P_x={^B}P \cdot \hat X_A
=\hat X_A \hat X_B {^B}P_x+\hat X_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat X_A \hat Z_B {^B}P_z
\]
\[{^A}P_x=\hat X_A \hat X_B {^B}P_x+\hat X_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat X_A \hat Z_B {^B}P_z
\]
\[{^A}P_y=\hat Y_A \hat X_B {^B}P_x+\hat Y_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat Y_A \hat Z_B {^B}P_z
\]
\[{^A}P_z=\hat Z_A \hat X_B {^B}P_x+\hat Z_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat Z_A \hat Z_B {^B}P_z
\]
\[{^A}
\begin{bmatrix}
P_x\\P_y\\P_z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\hat X_A \hat X_B &\hat X_A \hat Y_B &\hat X_A \hat Z_B \\
\hat Y_A \hat X_B &\hat Y_A \hat Y_B &\hat Y_A \hat Z_B \\
\hat Z_A \hat X_B &\hat Z_A \hat Y_B &\hat Z_A \hat Z_B \\
\end{bmatrix}
{^B}
\begin{bmatrix}
P_x\\P_y\\P_z
\end{bmatrix}
\]
\[{^A}P
={^A_B}R {^B}P\]
功能三
将向量P在一个frame中进行转动，成为向量P'
（约定：从旋转轴的上方往下看，逆时针旋转为正）
定义
\[{^A}P'=R(\theta)^A P
\]
公式
旋转轴和旋转角度定下来，那么旋转矩阵里的9个数字也定下来了。
空间旋转
Question
我们已经知道了围绕一个自由度旋转的Rotation matrix，那么如何找到任意的空间中的旋转对应的Rotation matrix？
Answer
因为空间中的旋转是3 DOFs，Rotation matrix本身也是3 DOFs，所以一个任意的空间中的旋转可以拆解成3次旋转。（大问题拆解成一个个子问题）
!Note
- Rotation不是commutable，所以多次旋转的先后顺序需要明确定义
- 旋转轴也需要明确定义，是对“固定不动”的转轴（固定坐标系的转轴）旋转？（Fixed angles），或是对“转动的frame当下所在”的转轴（物体坐标系的转轴）旋转？（Euler angles）
Fixed angles
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