旋转矩阵（Rotation Matrix）

摘要

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名词解释

frame 坐标系
orthogonal 正交
DOF 自由度
commutable 可交换的

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功能一

描述一个frame{B}相对于另一个frame{A}的姿态

定义

\[{^A_B}R =\begin{bmatrix} &| &| &|\\ &{^A}{\hat X_B} &{^A}{\hat Y_B} &{^A}{\hat Z_B}\\ &| &| &|\\ \end{bmatrix} \]

特性

• \({^A_B}R\)与\({^B_A}R\)，两者互为转置。
  证明：

\[\begin{align} {^A_B}R &=\begin{bmatrix} &| &| &|\\ &{^A}{\hat X_B} &{^A}{\hat Y_B} &{^A}{\hat Z_B}\\ &| &| &|\\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} {\hat X_B}\cdot{\hat X_A} &{\hat Y_B}\cdot{\hat X_A} &{\hat Z_B}\cdot{\hat X_A} \\ {\hat X_B}\cdot{\hat Y_A} &{\hat Y_B}\cdot{\hat Y_A} &{\hat Z_B}\cdot{\hat Y_A} \\ {\hat X_B}\cdot{\hat Z_A} &{\hat Y_B}\cdot{\hat Z_A} &{\hat Z_B}\cdot{\hat Z_A} \\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} - {^B}{\hat X_A}^T - \\ - {^B}{\hat Y_A}^T - \\ - {^B}{\hat Z_A}^T - \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} | &| &|\\ {^B}{\hat X_A} &{^B}{\hat Y_A} &{^B}{\hat Z_A}\\ | &| &|\\ \end{bmatrix}^T\\ &={^B_A}R^T \end{align} \]

• \({^A_B}R\)的逆矩阵就是\({^B_A}R\)，说明\({^A_B}R\)是3x3 orthogonal matrix，逆矩阵就是原矩阵的转置（隐含的一个结果就是一定有逆矩阵，因为任意矩阵都有矩阵的转置）
  证明：

\[\begin{align} {^A_B}R^T {^A_B}R &=\begin{bmatrix} - {^A}{\hat X_B}^T - \\ - {^A}{\hat Y_B}^T - \\ - {^A}{\hat Z_B}^T - \end{bmatrix} \begin{bmatrix} | &| &|\\ {^A}{\hat X_B} &{^A}{\hat Y_B} &{^A}{\hat Z_B}\\ | &| &| \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0\\ 0 &0 &1 \end{bmatrix}\\ &=I^3 \end{align} \]

\[{^A_B}R^{-1}={^A_B}R^T \]

• 每个column都是一个方向向量，隐含的条件为三个column都是单位向量（每个column的三个值的平方和开根号都是1），并且三个column两两互相垂直（两两的内积都是0）。所以，每个column都是单位向量，为3个条件；每个column两两垂直，为3个条件。即，这个矩阵有9个数字，却已经包含6个条件，只剩下三个参数（自由度）可以自由选择（与空间中的刚体具有三个自由度是符合的）。
  callback：平面上的刚体只有两个自由度，空间中的刚体有三个自由度。

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功能二

将向量P由一个frame{A}的表达转换到另一个和frame{A}仅有相对转动的frame{B}来表达

定义

\[{^A}P={^A_B}R {^B}P \]

推导

\[{^A}P={^A}P_x \hat X_A+{^A}P_y \hat Y_A+{^A}P_z \hat Z_A \]

\[{^B}P={^B}P_x \hat X_B+{^B}P_y \hat Y_B+{^B}P_z \hat Z_B \]

\[{^A}P_x={^B}P \cdot \hat X_A =\hat X_A \hat X_B {^B}P_x+\hat X_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat X_A \hat Z_B {^B}P_z \]

\[{^A}P_x=\hat X_A \hat X_B {^B}P_x+\hat X_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat X_A \hat Z_B {^B}P_z \]

\[{^A}P_y=\hat Y_A \hat X_B {^B}P_x+\hat Y_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat Y_A \hat Z_B {^B}P_z \]

\[{^A}P_z=\hat Z_A \hat X_B {^B}P_x+\hat Z_A \hat Y_B {^B}P_y+\hat Z_A \hat Z_B {^B}P_z \]

\[{^A} \begin{bmatrix} P_x\\P_y\\P_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \hat X_A \hat X_B &\hat X_A \hat Y_B &\hat X_A \hat Z_B \\ \hat Y_A \hat X_B &\hat Y_A \hat Y_B &\hat Y_A \hat Z_B \\ \hat Z_A \hat X_B &\hat Z_A \hat Y_B &\hat Z_A \hat Z_B \\ \end{bmatrix} {^B} \begin{bmatrix} P_x\\P_y\\P_z \end{bmatrix} \]

\[{^A}P ={^A_B}R {^B}P\]

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功能三

将向量P在一个frame中进行转动，成为向量P'
（约定：从旋转轴的上方往下看，逆时针旋转为正）

定义

\[{^A}P'=R(\theta)^A P \]

公式

参考：
[1]【离谱！台大公开课居然这么顶？林沛群教授精讲机器人运动学，课件书籍全奉上！运动规划、物件取放、手臂几何描述、旋转矩阵、人工智能】 https://www.bilibili.com/video/BV13n6MBVE2H/?p=14&share_source=copy_web&vd_source=e88b9a640d55f8f9902e0001f67be56f