luke的石板（组合数学）

问题 C: 鲁的石板

题目描述

宇宙大帝 Luke 拥有一颗璀璨的星球，名为 Lu3KO5（鲁星），这颗星球上存在着一块古老的圆形祭坛。祭坛由 n 个扇形石板组成，每一块石板都有细微的不同。为了能够让祭坛展现出其神秘的力量，Luke 需要用 m 种不同颜色的神秘能量将这些石板染色（每一块石板都必须染色）。

然而，为了保持祭坛的神圣与美观，Luke 要求相邻的两块扇形石板不能染成同一种颜色的能量。现在，Luke 想知道共有多少种不同的染色方案能够满足这个要求（只要有一个位置的石板颜色不同就算不同的染法）。

作为宇宙大帝，Luke 一眼就能看出答案，但他认为这对他来说太过简单，于是将问题交给了聪明的你。你能帮助他计算出所有可能的染色方案吗？

输入

输入第一行为一个正整数 T，表示 T 组数据。

接下来 T 行每行两个正整数 n 和 m。

输出

对于每一组数据输出一个整数，表示染色方案数量模 1000000007 后的结果。

样例输入

7
1 1
3 5 
5 5 
4 4 
1 2
100000 20
1000000000 50

样例输出

1 
60 
1020 
84 
29048415
90672511614

提示

对于 20% 的数据，\(1 ≤ T ≤ 5，1 ≤ n ≤ m ≤ 5\)
对于 50% 的数据，\(1 ≤ T ≤ 5，1 ≤ n ≤ 10^6\)。
对于 100% 的数据 \(1 ≤ T ≤ 10^5，1 ≤ n ≤ 10^9，1 ≤ m ≤ 50\)。

分析

这是一个环形染色问题，推导它的公式再用快速幂就是即可，
对于一个有\(n\)个区域环，有\(m\)个颜色可以选择，相邻的石块不能涂一样的颜色，将环从某两个区域分开，展开为一个线性排列，那么相邻元素不同的排列有\(m(m-1)^{n-1}\)种，设\(n\)个区域的环的涂色方案有\(a_n\)种，那么线性排列首位颜色有两种情况，

1. 首位颜色相同，那么把首位两个区域叠成一个区域，那么组成了一个\(n-1\)个区域的环，就等于\(a_{n-1}\)
2. 首位颜色不同，那么直接拼接首位成为一个\(m\)个区域的环，就等于\(a_n\)
   综合两种情况，得到方程\(a_n + a_{n-1} = m(m-1)^{n-1}\),所以\(a_n = (m-1)^n + (-1)^n(m-1)\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define de(x) cout << #x << "=" << (x) << '\n'
#define de2(x,y) cout << #x << "=" << (x) << #y << "=" << y << '\n'; 
using namespace std;

#define int long long
const int N = 1e9+7;

inline int fast_fact(int n, int m){
    int base = m-1, nub = n,ans = 1;
    while(nub){
        if(nub&1) ans = ans%N*base%N;
        nub /= 2;
        base = base%N*base%N;

    }
    return ans + (n&1 ? -(m-1):(m-1));
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while(t--){
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        if(n == 1) cout << m%N << '\n';
        else if(n == 2) cout << m%N*(m-1)%N << '\n';
        else if(n == 3) cout << m%N*(m-1)%N*(m-2) << '\n';
        else {
            cout << fast_fact(n,m) %N<< '\n';
        }
    }
}