自然数的拆分(背包)

问题 AO: 【基础】自然数的拆分方案总数<

题目描述

给定一个自然数N，要求把N拆分成若干个正整数相加的形式，参与加法运算的数可以重复。

注意:

1. 拆分方案不考虑顺序，也就是3=1+2和3=2+1算作相同的方案；
2. 至少拆分成2个数的和。
3. 求拆分的方案数 mod 2147483648的结果。

输入

一个自然数N。（1≤N≤4000）

输出

输入一个整数，表示结果。

样例输入

7

样例输出

14

提示

【举例】按题意，数字5有6种不同的拆分方案，分别是

1+1+1+1+1

1+1+1+2

1+1+3

1+4

1+2+2

2+3

分析

我怎么就找不到正确的状态呢???

这个问题是整数拆分的变形，可以用动态规划（DP）来解决。我们可以用完全背包的思想来理解它。

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1. 问题分析

对于给定的 N，要求将 N 拆分成至少两个正整数之和，且拆分顺序不影响结果（即 1+2 和 2+1 视为同一种方案）。

可以转换为：

• 选取若干个 1 到 N-1 的数，使其和等于 N，且每个数可以被重复选取。

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2. 动态规划（DP）解法

定义状态

设 dp[i][j] 表示使用数字 1 到 i 进行拆分，得到和为 j 的方案数。

• 状态转移方程

  • 不选 i，则 dp[i][j] = dp[i-1][j]
  • 选 i，则 dp[i][j] = dp[i][j-i]

  综上：
  [
  dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-i]
  ]

  解释：

  • dp[i-1][j] 表示不使用 i 进行拆分的方案数。
  • dp[i][j-i] 表示选取 i 之后，剩下的 j-i 仍然需要拆分，继续使用 i 及更小的数。

初始化

• dp[i][0] = 1，表示拆分成 0 的方案数只有一种，即空集。
• dp[0][j] = 0，没有数可用时，不能拆分。

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3. 代码实现

我们可以用一维数组优化 DP，把 dp[i][j] 压缩成 dp[j]（完全背包思想）。

#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 2147483648;
const int N = 4005;

int dp[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    dp[0] = 1; // 拆分成 0 的方案只有一种

    for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历 1~(N-1) 作为可选数
        for (int j = i; j <= n; j++) { // 这里采用正序遍历，类似完全背包
            dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % MOD;
        }
    }

    cout << dp[n] << endl;
    return 0;
}