奶牛沙盘队(DP)_

问题 R: 【基础】奶牛沙盘队

题目描述

Farmer Han开始玩飞盘之后，YDS也打算让奶牛们享受飞盘的乐趣．他要组建一只奶牛飞盘队．他的N(1≤N≤2000)只奶牛，每只奶牛有一个飞盘水准指数Ri(1≤Ri≤100000)．YDS要选出1只或多于1只奶牛来参加他的飞盘队．由于YDS的幸运数字是F(1≤F≤1000)，他希望所有奶牛的飞盘水准指数之和是幸运数字的倍数．

帮YDS算算一共有多少种组队方式．组队方式数模10^8取余的结果．

输入

第1行输入N和F，之后N行输入Ri

输出

组队方式数模10^8取余的结果

样例输入

4 5 12 8 2

样例输出

3

分析

1. 确定状态dp[i][j]为前i头奶牛,得到飞盘准指数为j的方案数
2. 确定边界,当0头奶牛获得0的方案数有1个,因此dp[0][0] == 1
3. 状态转移````dp[i][j] += dp[i-1][j] 当不选第i头牛的时候
   dp[i][j] += dp[i-1][(j-v[i]+f)%f] 当选择第i头牛的时候```
   注意到dp[i-1][(j-v[i]+f)%f],因为题目要求的是余数,因此不必考虑j >= v[i]的条件

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我写的一些错误

2. 状态定义和下标范围的问题

• 状态定义：
  通常我们用 dp[i][r] 表示前 i 只奶牛构成的子集（通常包括空集）的方案数，其中这些奶牛的飞盘水准指数之和对 ( F ) 取模后等于 ( r )。

• 下标范围：
  因为模 ( F ) 的余数只可能在 0 到 ( F-1 )，所以 dp[i] 的第二维应该有 ( F ) 个位置，而不是 1005 个位置。如果题目中 ( F ) 最大为 1000，定义 dp[2005][1005] 是可以的，但在状态转移时，下标应该在 0 到 ( F-1 ) 范围内。
  但你的循环写的是

  for (int j = 1; j <= f; ++j)
  

  这样就把下标范围写成了 1 到 ( F )，而下标 ( F ) 对应的余数其实应该是 0（因为 ( F \mod F = 0 )），这会导致混淆甚至可能出错。

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3. 状态转移公式的问题

• 正确的状态转移应该是：
  当考虑第 ( i ) 只奶牛（其水准指数经过取模后为 ( v[i] )）时，对于任意余数 ( r ) 应有：
  [
  dp[i][r] = dp[i-1][r] + dp[i-1][(r - v[i] + F) % F]
  ]
  其中：

  • 第一项 ( dp[i-1][r] ) 表示不选第 ( i ) 只奶牛的方案数；
  • 第二项 ( dp[i-1][(r - v[i] + F) % F] ) 表示选了第 ( i ) 只奶牛后，更新余数为 ( r ) 的方案数。

• 你写的代码中用了条件判断：

  if(j >= v[i])
      dp[i][j] += dp[i-1][j] + dp[i-1][(j-v[i])];
  else 
      dp[i][j] += dp[i-1][j];
  

  这种写法只适用于普通的区间和问题，但对于模运算必须无条件地进行模的调整，也就是说，无论 ( j \ge v[i] ) 与否，都应使用公式：

  dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][(j - v[i] + f) % f];
  

  这样就可以保证下标不会出现负值，并且保持余数在 ( 0 ) 到 ( f-1 ) 范围内。

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4. 初始状态和答案处理

• 你设定了：

  dp[0][0] = 1;
  

  表示“空集”对应的方案数为 1。
  此外在读入数据的循环中还写了：

  dp[i][0] = 1;
  

  这种处理可能导致后续转移时多次重复计入“空集”的方案。
• 注意题目要求：
  题目要求选择至少一只奶牛参加飞盘队（即不允许空集）。因此最后答案应为 ( dp[n][0] - 1 )（减去空集的方案），再取模。

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5. 综合修改建议

下面给出一个修改后的参考代码，解决上述问题：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MOD = 100000000; // 题目要求模 10^8
int v[2005];
int dp[2005][1005]; // dp[i][r] 表示前 i 只奶牛构成的子集，其和模 f 为 r 的方案数

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    memset(dp, 0, sizeof(dp));  // 初始化 dp 数组

    int n, f;
    cin >> n >> f;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> v[i];
        v[i] %= f;  // 只需要关心模 f 的值
    }
    
    // 初始状态：空集方案数为 1
    dp[0][0] = 1;

    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int r = 0; r < f; ++r) {
            // 不选第 i 只奶牛：状态保持不变
            dp[i][r] = (dp[i][r] + dp[i-1][r]) % MOD;
            // 选第 i 只奶牛：更新余数
            int prev = (r - v[i] + f) % f;
            dp[i][r] = (dp[i][r] + dp[i-1][prev]) % MOD;
        }
    }

    // dp[n][0] 包含了空集的方案数，所以答案应为 dp[n][0] - 1
    int ans = dp[n][0] - 1;
    if (ans < 0) ans += MOD;
    cout << ans << "\n";
    return 0;
}

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总结

1. 数组初始化：用 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 替换 mem(dp);
2. 状态转移：直接使用公式
   [
   dp[i][r] = dp[i-1][r] + dp[i-1][(r - v[i] + f) % f]
   ]
   保证所有下标均在合法范围内。
3. 下标范围：循环余数时应在 0 到 f-1 内，而不是 1 到 f。
4. 答案处理：最后输出时要减去空集的方案（即减 1）。

这样修改后，你的代码就可以正确解决题目要求了。