传纸条(dp)

P1006 [NOIP 2008 提高组] 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排坐成一个 \(m\) 行 \(n\) 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 \((1,1)\)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 \((m,n)\)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 \(0\) 表示），可以用一个 \([0,100]\) 内的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 \(m\) 和 \(n\)，表示班里有 \(m\) 行 \(n\) 列。

接下来的 \(m\) 行是一个 \(m \times n\) 的矩阵，矩阵中第 \(i\) 行 \(j\) 列的整数表示坐在第 \(i\) 行 \(j\) 列的学生的好心程度。每行的 \(n\) 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出 #1

34

说明/提示

【数据范围】

对于 \(30\%\) 的数据，满足 \(1 \le m,n \le 10\)。
对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \le m,n \le 50\)。

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

分析

看作同时传两张纸条,那么两张肯定一个在(1,2),一个在(2,1)开始,最后也肯定一个在(m,n-1),一个在(m-1,n),因为不相交,那么考虑dp[i][j][x][y]代表两个点的和,有状态转移dp[i][j][x][y] = max(d[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1],dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1]) + v[i][j] + v[x][y]表示从两个点的左边和上面到[i][j]和[x][y]的最大值,进一步可以用k表示x + y,这样可以优化为3阶,进一步还可以用滚动数组优化空间

代码

int v[55][55];
int dp[210][155][155];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int m,n;
    cin >> m >> n;
    memset(v,0,sizeof(v));
    f(i,1,m+1)
    f(j,1,n+1)
    cin >> v[i][j];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[2][1][1] = 0;
    for(int k = 3;k <= m + n -1;++k)//从3开始
        for(int i = 1;i <=min(m,k);++i)//这里min(m,k)防止到达到不了的点
            for(int j = i + 1;j <= min(m,k) ;++j)//初始化i+1防止重叠
            {
                dp[k][i][j] = max(dp[k-1][i-1][j-1],max(dp[k-1][i-1][j],max(dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i][j]))) + v[i][k-i] + v[j][k-j];
            }

    cout << dp[m+n - 1][m-1][m] + dp[ m+n -1][m][m-1];//输出
}