最长上升子序列(DP)

题目描述

给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入

第一行包含整数N。

第二行包含N个整数，表示完整序列。

1≤N≤100000，\(−10^9≤ \text{数列中的数} ≤10^9\)

输出

输出一个整数，表示最大长度。

样例输入

`6

1 3 2 8 5 6`

样例输出

4

分析

朴素的DP思想做:对于每个状态array[i],是前i个值的LIS,对于状态f[i]，因为i位置前的每个位置都可能是它上一阶段的状态，所以我们需要从0到i遍历array序列，设遍历到的位置为j，那么：

如果array[i]>array[j]，其能做出的决策有：
array[i]加入最长上升子序列：则f[i]=max{f[j]+1，0=<j<i，array[i]>array[j]}；
array[i]不加入最长上升子序列：则f[i]=1；

优化,可以注意到,我们只用考虑每一个递增子序列的最后一个数值大小,如果f[i]大于他们最后一个数值,那么f[i]就可以成为该子序列的最后一个数,因此
我们可以维护一个序列ans[cnt],代表长度为cnt的子序列的最后一个数值大小,利用二分查找来凑最长子序列
代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define f(i,a,b) for(int i = a;i < b;++i)

int main() {
    
    int n; cin >> n;
    vector<int> p(n+1),ans(n + 1,0);
    int cnt = 0;ans[0] = INT_MIN;//初始化,防止第一个为负数就产生误判
    f(i,1,n+1)
    {
        cin >> p[i];
        if(p[i] > ans[cnt]) ans[++cnt] = p[i];//记录最长递增子序列的最后一个
        else
        {
            int temp = lower_bound(ans.begin(),ans.begin() + cnt ,p[i]) - ans.begin();
            ans[temp] = p[i];//二分找到第一个大于等于p[i]的数,更新
        }
    }
    cout << cnt << endl;
}

参考:最长上升子序列（LIS）问题的解决及优化