三元组倍数

题目

You are given integers N and K. Find the number of triples (a,b,c) of positive integers not greater than N such that a+b,b+c and c+a are all multiples of K. The order of a,b,c does matter, and some of them can be the same.

Constraints
1≤N,K≤2×105
N and K are integer

这个题目要求找出满足条件的三元组 ((a, b, c))，使得：

• ( a + b ) 是 ( K ) 的倍数
• ( b + c ) 是 ( K ) 的倍数
• ( c + a ) 是 ( K ) 的倍数
• 其中 ( 1 \leq a, b, c \leq N )

解题思路

我们可以通过「数论+分类讨论」的方式求解这个问题。

1. 观察性质

如果 ( x+y ) 是 ( K ) 的倍数，我们可以用「同余类」来分析：
设 ( x \equiv r_x \pmod{K} )，即 ( x ) 对 ( K ) 取模的余数是 ( r_x )。
那么 ( a+b, b+c, c+a ) 都是 ( K ) 的倍数，可以得到：
[
(a + b) \equiv 0 \pmod{K}
]
[
(b + c) \equiv 0 \pmod{K}
]
[
(c + a) \equiv 0 \pmod{K}
]

这意味着：
[
2a \equiv 2b \equiv 2c \equiv 0 \pmod{K}
]
所以 ( a, b, c ) 的取模值必须相同，并且等于 ( 0 ) 或 ( K/2 )（如果 ( K ) 是偶数）。

2. 计数方案

• 计算 ( 1 \leq x \leq N ) 中 ( x \equiv 0 \pmod{K} ) 的个数：
  [
  C_0 = \left\lfloor \frac{N}{K} \right\rfloor
  ]
• 如果 ( K ) 是偶数，还要计算 ( x \equiv K/2 \pmod{K} ) 的个数：
  [
  C_{K/2} = \left\lfloor \frac{N}{K} \right\rfloor + \left( N \bmod K \geq K/2 \right)
  ]

然后，满足条件的三元组数目：

• 如果 ( K ) 是奇数，只能是 ( (0,0,0) )，即：
  [
  C_0^3 = C_0 \times C_0 \times C_0
  ]
• 如果 ( K ) 是偶数，可以有两种情况：
  [
  C_0^3 + C_{K/2}^3
  ]

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代码实现

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ll N, K;
    cin >> N >> K;

    ll C0 = N / K;  // 统计余数为 0 的个数
    ll Ck2 = (K % 2 == 0) ? (N / K + (N % K >= K / 2)) : 0; // 统计余数为 K/2 的个数

    ll result = C0 * C0 * C0;
    if (K % 2 == 0) {
        result += Ck2 * Ck2 * Ck2;
    }

    cout << result << endl;
    return 0;
}

时间复杂度

整个算法的时间复杂度为 ( O(1) )，因为只涉及简单的除法和乘法运算，适用于 ( N, K \leq 200000 ) 的约束。

这道题的核心在于通过取模分析数的分布，并利用数学公式快速计算符合条件的三元组个数。