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三、（15分）设\(E \subset \mathbb{R}^{n} \)满足对于\(\mathbb{R}^{n}\)中的任意开矩体\(I\),

\(m^{*}(I) = m^{*}(I \cap E) + m^{*}(I \cap E^{c})\)

证明：\(E\)为\(\mathbb{R}^{n}\)中的可测集。

这个条件看上去和Caratheodory条件差不多，乍一看还以为是让证Cara条件，但其实有所区别。

定义2.2 设\(E \subset \mathbb{R}^{n} \).若对任意的点集\(T \subset \mathbb{R}^{n} \),有

\(m^{*}(T) = m^{*}(T \cap E) + m^{*}(T \cap E^{c})\)

则称\(E\)为Lebesgue的可测集(或m*-可测集），简称为可测集，其中T为试验集（这一定义可测集得等式也称为Caratheodory条件。

注意到题目中给的是开集，而判定可测集的Cara条件是点集，因此如何将一个点集转化为开集，就解决了这个问题。

其实书上p85小字部分已经有了，为了练习latex再输入一遍，加深印象。

因为\(T \subset \mathbb{R}^{n}\),存在T的L-覆盖\(\left \{I_{k}\right \}_{k=1}^{\infty}\)

\(T \subset \bigcup_{k=1}^{\infty}I_{k}\)