给定一个数组,找出不在数组中的最小的那个数字

这是在TL讨论中Liu xinyu给出的一个例子,觉得思路挺有启发的,所以整理记录一下。

给定一个数组,其内容是一些随机的、不重复的正整数,如:

{4, 23, 1, 8, 9, 21, 6, 12}

要求找出不在数组中出现的最小的那个数,比如这个数组中未在数组中出现的最小值是:2

这个问题实际应用的原型可以是一个ID分配系统,其使用一个数组来保存已分配的ID,每次回收就从数组中删除一个元素(O(n)),而分配则需要找到最小的那个可用的ID,就是这个算法要做的事情。

这个问题从naive的解法到快速的解法的思路转换是十分巧妙的,当然,如果之前没有接触过类似的题,注意到这个特性应该不是一件很容易的事。

设数组为A,大小为n,下标从1开始,下面是一系列逐步改进的算法:

一、穷举查找

一般的问题都可以通过这种很暴力的方式来做,从1到n逐个判断是否在数组中:

MIN-AVAILABLE-NUM(A, n)

  for i = 1 to n

    do if i not in A 

         then return i

      return n+1

显然,这里的算法复杂度是O(n^2)

二、先排序再二分查找

第一种方法,每次查找都是线性查找,要改进最先想到的自然是二分查找,二分查找的前提是有序, 所以:

  1. 先排序,用O(nlgn)的快速排序、归并排序或者堆排序;因为数组中的元素是一些自然数,我们甚至可以使用O(n) 的基数排序,当然,需要更多的内存。
  2. 对1..n进行判断,复杂度也为O(nlgn)

所以,整体的算法复杂度为O(nlgn)

三、该数组的一个特性

其实仔细观察该数组A[1]..A[n],我们可以得出一个结论:如果该数组中存在未被使用的数,那么Max(A) > n。

证明很简单,假设Max(A) <= n,由于该数组大小为n,那么该数组中的元素只能是从1到n的某个排列,从而得出该数组中不存在未被使用的数,矛盾。

这个特性和抽屉原理有些类似之处。

从而我们可以有另外一个方法:

  1. 先排序
  2. 再利用该特性搜索

MIN-AVAILABLE-NUM(A, n)

  for i = 1 to n

    do A[i] > i

         then return i

      return n+1

 

注意到,如果我们使用基数排序,可以将复杂度降低到O(n)。

四、一个线性时间,线性空间的算法

第三个算法虽然能达到理论意义上的O(n),但是基数排序隐含的常数因子较大,而且不是原地排序,这里给出一个不需要排序的算法:

MIN-AVAILABLE-NUM(A, n)

  for i = 1 to n

    B[i] = 0

  for i = 1 to n

    do if A[i] < n

         then B[A[i]] = 1

      for  i = 1 to n

    if(B[i] == 0) return i;

   return n+1;

这里使用一个辅助数组B来表示1到n这些数是否存在在数组A中,只要不存在就将其标为0,最后在B中找到第一个值为0的便是我们要找的那个元素;如果B中元素全为1,这说明A使用了所有1到n这些数,那么返回的便是下一个n+1.

此处无须排序,且复杂度为O(n),但需要一个额外的O(n)的数组。

五、一个线性时间、常数空间的算法

利用快速排序的原理,我们可以在不使用额外数组的情况下达到O(n)的效率,原理为:

取1到n的中间值m = (1 + n)/2,用m将数组分成A1, A2两个部分,A1中的元素全部小于等于m,A2中的元素全部大于m(注意此处用的是下标,而不是A[m]),如果A1的大小为m,则空闲元素在A2中,这在前面证明过,然后就在A2中应用同样的方法。

MIN-AVAILABLE-NUM(A, low, up)

  if(low == up) return low

  m = (low + up) / 2

  split = partition(A, low, up, m)

  if a[split] == m 

     then return MIN-AVAILABLE-NUM(A, low, split)

      else return MIN-AVAILABLE-NUM(A, split+1, up)

这里递归式为:T(n) = T(n/2) + O(n),根据主定理的第三种情况,复杂度为O(n),其实也就是一个等比数列:n + n/2 + n/4...

但是,此处因为用到递归,所以空间复杂度其实是O(Lgn),所以可以用循环来代替:

MIN-AVAILABLE-NUM(A, low, up)
  while low != up
    m = (low + up) / 2
    split = partition(low, up, m)
    if A[split] == m 
      then low = split + 1
    else up = split - 1
   return low

posted @ 2011-02-10 09:25  lzprgmr  阅读(9393)  评论(26编辑  收藏  举报

黄将军