买蛋糕--野猫过生日

【题目】

        野猫过生日，大家当然会送礼物了（咳咳，没送礼物的同志注意了哈！！），由于不知道送什么好，又考虑到实用性等其他问题，大家决定合伙给野猫买一个生日蛋糕。大家不知道最后要买的蛋糕的准确价格，而只会给蛋糕估价，即要买一个不超过多少钱的蛋糕。众OIer借此发挥：能否用最少的钱币数去凑成估价范围内的所有价值，使得不管蛋糕价值多少，都不用找钱……
　　现在问题由此引出：对于一个给定的n，能否用最少的不等的正整数去组成n以内（包括n）的所有的正整数呢？如果能，最少需要多少个正整数，用最少个数又有多少不同的组成方法呢？

【输入数据】

   只有一行包含一个整数（1<=n<=1000) n (1≤ n≤ 1000)

【输出数据】

   一行两个数，第一个数是最少需要多少个数，第二个数是用最少个数的组成方案个数。两个答案用空格分隔。

【样例输入】

   6

【样例输出】

   3 2

【样例说明】

   最少用三个数，有两种方法，分别是：1，2，3和1，2，4。
   对于1，2，3有1，2，3，1＋3，2＋3，1＋2＋3；     
   对于1，2，4有1，2，1＋2，4，1＋4，2＋4。

【解答】

问题的数学模型是从前n个数字中选取尽可能少的个数，使得其和取遍1..m中所有的值。不难想到用dp[i][j]表示前i个数字选择取遍1..j的尽可能少的个数。有
   dp[0][0] = 0
   dp[i][j] = min{dp[i-1][j], dp[i-1][k]+1 | k >= i+1, 且j-i <= k < j}
由于不等式i < j <--> dp[a][i] <= dp[a][j]显然成立，所以dp[i-1][k]取最小值必然在k = max{i+1, j-i}。也不难证明这种方法既不重复又不遗漏，因此用数组cnt根据决策统计即可。

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int dp[1005][1005];
int cnt[1005][1005];
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    memset(dp, 127/3, sizeof dp);
    memset(cnt, 0, sizeof cnt);
    dp[0][0] = 0;
    cnt[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            //if (j <= i) continue;
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            int k = max(i-1, j-i);
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k]+1);
            if (dp[i][j] == dp[i-1][j])
                cnt[i][j] += cnt[i-1][j];
            if (dp[i][j] == dp[i-1][k]+1)
                cnt[i][j] += cnt[i-1][k];
        }
    }
    cout << dp[n][n] << " " << cnt[n][n] << endl;
    return 0;
}