代码随想录算法训练营Day40 动态规划

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代码随想录算法训练营Day40 动态规划| 343. 整数拆分 96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

题目链接：343. 整数拆分
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:

• 输入: 2
• 输出: 1
• 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

总体思路

动态规划5部曲：

1. 确定dp数组及下标的含义
   dp[i]：分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
   dp[i] 贯彻整个解题过程
2. 确定递推公式
   dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
   其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
   一个是j * (i - j) 直接相乘。
   一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
   j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
   如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
   所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
   那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
   因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。
3. dp数组的初始化
   严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
   拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
   这是无解的。
   这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议
4. 确定遍历顺序
   确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

枚举j的时候，是从1开始的。从0开始的话，那么让拆分一个数拆个0，求最大乘积就没有意义了。
j的结束条件是 j < i - 1 ，其实 j < i 也是可以的，不过可以节省一步，例如让j = i - 1，的话，其实在 j = 1的时候，这一步就已经拆出来了，重复计算，所以 j < i - 1
至于 i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
优化后为：

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

5. 举例推导dp数组
   当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：
   

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

96.不同的二叉搜索树

题目链接：96.不同的二叉搜索树
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:

总体思路

本题要求查找全部二叉树的种类，首先要知道节点一共有几种排列：


dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

动态五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标dp[i]的含义
   dp[i]: 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
2. 确定递推公式
    dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
   j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。
   所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3. dp数组的初始化
   只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。
   那么dp[0]应该是多少呢？
   从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。
   从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
   所以初始化dp[0] = 1
4. 确定遍历顺序
   首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
   那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

5. 举例推导dp数组
   

class Solution {
public:
   int numTrees(int n) {
       vector<int> dp(n + 1);
       dp[0] = 1;
       for (int i = 1; i <= n; i++) {
           for (int j = 1; j <= i; j++) {
               dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
           }
       }
       return dp[n];
   }
};