250624 模拟赛

分数：\(40+10+28=78\)

感觉暴力没有打满，因为后面觉得大家 T1 肯定都过了所以开始自暴自弃哎哎哎。T3 很像昨天 jsy 说的某个东西，但是没有一直想感觉。

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T1 愤怒之火

给你一棵树，构造一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，满足对于任意三个互不相同的节点 \(x,y,z\) 满足 \(y\) 在 \(x\leftrightarrow z\) 的最短路径上，\(p_y\)不在 \(p_x\leftrightarrow p_z\) 的路径上。 或报告无解。

对着这个题想了八百年，首先写了菊花的性质（\(p_1\) 不为 \(1\)），然后写了链的性质（\(n\ge5\) 无解，剩下两种情况复制样例然后瞎编一下，也可以理解是排列中不存在连续三个上升或者连续三个下降的）。感觉距离正解并不是非常远。中途交了一次随机打乱的，没有多得 \(1\) 分。

感觉有解的条件跟叶子数量或者直径有关，后面还是觉得前者比较对。但是感觉这个思路挺不对的，于是去想看能不能找到类似“不存在连续三个上升或者连续三个下降”的性质，然后对排列计数。开始想 dfs 序发现找不到。

考虑每个 \(y\)，我们把它看作树根，然后经过它的路径怎么样，不经过它的路径怎么样，然后发现对于每个非叶节点，它的位置上放上一个叶子节点就是对的。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
	int t=0;char h=getchar();
	while(!isdigit(h))h=getchar();
	while(isdigit(h))t=(t<<1)+(t<<3)+(h^48),h=getchar();
	return t;
}
void write(int x)
{
	if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5+10;
int ind[N];
int n,x,y;
int st1[N],tp1,st2[N],tp2;
void solve()
{
	n=read();memset(ind,0,(n+5)*sizeof(int));tp1=tp2=0;
	for(int i=1;i<n;i++)x=read(),y=read(),++ind[x],++ind[y];
	for(int i=1;i<=n;i++)if(ind[i]==1)st1[++tp1]=i;else st2[++tp2]=i;
	if(tp1<tp2)
	{
		puts("No");return;
	}
	puts("Yes");
	for(int i=1;i<=n;i++)if(ind[i]==1&&tp2)write(st2[tp2--]),putchar(' ');else write(st1[tp1--]),putchar(' ');
	puts("");
}
int main()
{
	freopen("fire.in","r",stdin);
	freopen("fire.out","w",stdout);

	int t=read();
	while(t--)solve();
	return 0;
}

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T2 勾股计数

给定 \(n\) 计算有多少本质不同三元组 \((a,b,c)\) 满足：

• \(a,b,c\) 均为正整数。
• \(1\le a\le n\)
• \(a^2+b^2=c^2\)

一开始根本不知道这个题要干什么。发现找满足条件的 \(a^2=(c+b)(c-b)\)。要求 \(1\le a\le n\)，\((c+b)\) 和 \((c-b)\) 奇偶性相同。

• 当 \(a\) 为奇数

  显然所有 \(a^2\) 的因数对都可以贡献一次答案（除了 \(a\) 本身）。

• 当 \(a\) 为偶数

  需要一个因数对中不但不能有 \(a\)，而且需要两个数都是偶数，相当于 \(4 (\frac{a}{2})^2=2k\frac{2(\frac{a}{2})^2}{k}\)，也就是 \((\frac{a}{2})^2=k\frac{(\frac{a}{2})^2}{k}\)，只需找 \((\frac{a}{2})^2\) 的因数对数。

数学题然后疯狂推式子就没了。

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T3 乱斗之星

因为所有路径的长度都可以表示为关于 \(T\) 的一次式，所以答案日期一定在 \({1,T_{max}}\) 中。

然后可以用一个类似于 bfs 的东西去算最短路，因为一个点所有的出边长度是相同的。

然后树就可以点分治之类的。

然后一般的就是根据每个关键点去做一遍点分治。