250520 模拟赛

分数：\(20+0+50=70\)。

被 T1 卡了一上午，写了 \(20\) 暴力还调了半天（应该还有一个得分神秘的骗分做法，但是没交），然后开始想正解，然后发现正解非常的困难，尝试拆了一下式子但是感觉没有什么用。

T2 困难字符串题，看了两眼就走了。后来的后来尝试写爆搜，然后发现样例过不去，开始调，然后发现要是能二十分钟弄出来一个 trie 之类的东西的话，但是写不出来了。（现在感觉可能是当时太饿了。）发现这玩意暴力就是个 SAM 板子。当时咋没写。

T3 被送了 \(50\)，关于链的性质，乱胡了一个三个 \(\log\) 的做法，但是不知道对不对，感觉也比较奇怪写不出来了去尝试写 T2 暴力了。早知道不写 T2 了。

总结是能骗多骗，感觉有希望的东西还是要努力写一写。

---

T1 二维平面上有的点被挡住了然后你要看到最多的点（point）

原题

抽象。

---

T2 在字符串内选出最多的两两不为后缀的子串并求和（string）

暴力：枚举所有 ? 位置的字符。因为要选出最多不相互为后缀的串，所以要在原串 SAM 的 parent 树上选最多不互相为祖先后代关系的节点，显然答案是叶子节点的数量。时间复杂度 \(O(n2^n)\)。

咕咕咕

---

T3 单点修改查询模拟在树上做启发式合并后的根节点（dsu）

原题

模拟每次合并的过程，然后建一个类似 kruskal 重构树的东西，对于每次查询就是从 \(x\) 节点出发每次向更大的儿子跳，直到叶子节点的过程。暴力模拟，每次修改后对重构树重链剖分，查询返回链底权值，时间复杂度 \(O(nq)\)。考虑优化。

引理 1：某个节点子树内重心一定在经过此节点的重链上。因为如果重心不在重链上，显然换成其父亲的重儿子更优。

每次找一个子树内的重心，需要找 \(O(\log n)\) 次。考虑如何快速找重心。

引理 2：子树重心的子树权值和至少为原子树权值和的一半。假设当前重心的子树权值和小于原子树权值和的一半，显然换成其父亲不劣。

引理 3：将子树节点按照随便一个 dfs 序展开，子树重心一定是序列带权中位数对应节点的祖先。根据引理 2 可以感性理解。这样可以确定重心在哪条链上，再根据引理 2 倍增即可。

考虑用树状数组维护 dfs 序上的点权，单次查询 \(O(\log n)\)，倍增找重心一共是 \(O(\log^2n)\)。总复杂度 \(O(n\log^3n)\)，能过。